Wyrazy ciągu obliczamy albo bezpośrednio ze wzoru jawnego, albo kolejno z reguły rekurencyjnej. Najpierw rozpoznaj sposób podania ciągu, a potem pilnuj indeksów, nawiasów i kolejności działań.
Wzór jawny: numer wstawiamy za n
Dla \(a_n=2n^2-3\) obliczenie czwartego wyrazu wygląda tak: \(a_4=2\cdot4^2-3=2\cdot16-3=29\). Najpierw wykonujemy potęgowanie, potem mnożenie i odejmowanie.
Dla \(b_n=\frac{n+1}{n}\) otrzymujemy \(b_2=\frac32\). Każde wystąpienie \(n\) zastępujemy tym samym numerem. Jeśli we wzorze są nawiasy, zachowujemy je podczas podstawiania.
Ujemna podstawa i zmienny znak
W ciągu \(c_n=(-2)^n\) potęgujemy całą liczbę \(-2\). Kolejne wartości to \(-2,4,-8,16\). Dla nieparzystego indeksu wynik jest ujemny, dla parzystego dodatni.
Zapis \(-2^n\) oznacza coś innego: minus stoi przed potęgą dodatniej liczby. Dla \(n=2\) mamy \((-2)^2=4\), ale \(-2^2=-4\). Przy \(d_n=(-1)^n\) wyrazy mają wartości tylko \(-1\) lub \(1\).
| Wzór | Pierwszy wyraz | Drugi wyraz | Trzeci wyraz |
|---|---|---|---|
| \((-2)^n\) | \(-2\) | \(4\) | \(-8\) |
| \(-2^n\) | \(-2\) | \(-4\) | \(-8\) |
| \((-1)^n\) | \(-1\) | \(1\) | \(-1\) |
Rekurencja: potrzebujesz poprzedniej wartości
Reguła \(a_{n+1}=2a_n-1\) mówi: następny wyraz otrzymasz, mnożąc poprzedni przez \(2\) i odejmując \(1\). Do litery \(a_n\) podstawiamy wartość wyrazu, a nie jego numer.
Potrzebny jest też warunek początkowy. Dla \(a_1=2\) powstanie ciąg \(2,3,5,9,\ldots\), a dla \(a_1=1\) ta sama reguła daje ciąg stały \(1,1,1,\ldots\). Sama rekurencja nie rozstrzyga początku.
Obliczenie czwartego wyrazu krok po kroku
Niech \(a_1=2\), \(a_{n+1}=2a_n-1\), dla \(n\ge1\). Aby otrzymać \(a_4\), najpierw musimy znać \(a_3\), a wcześniej \(a_2\).
- Użyj warunku początkowego do obliczenia następnego wyrazu.\(a_2=2a_1-1=2\cdot2-1=3\)
- W kolejnym kroku podstaw właśnie obliczoną wartość.\(a_3=2a_2-1=2\cdot3-1=5\)
- Powtórz regułę dla trzeciego wyrazu.\(a_4=2a_3-1=2\cdot5-1=9\)
- Zapisz ciąg pośrednich wyników wraz z indeksami.\(a_1=2,\quad a_2=3,\quad a_3=5,\quad a_4=9\)
Od pierwszego do czwartego wyrazu wykonaliśmy trzy przejścia, nie cztery. Dodatkowe zastosowanie reguły dałoby już \(a_5=17\).
Rekurencja z indeksem lub dwoma poprzednikami
W regule \(b_1=1\), \(b_{n+1}=b_n+n\) występują dwie różne rzeczy: poprzednia wartość \(b_n\) i numer \(n\). Dostajemy \(b_2=1+1=2\), \(b_3=2+2=4\), \(b_4=4+3=7\).
Jeśli \(c_1=1\), \(c_2=1\) oraz \(c_{n+2}=c_{n+1}+c_n\), do każdego nowego wyrazu potrzeba dwóch poprzednich. Stąd \(c_3=2\), \(c_4=3\), \(c_5=5\). Dwa warunki początkowe są tutaj konieczne.
Przy dłuższych obliczeniach zapisuj tabelę numerów i wartości. Dzięki temu łatwo sprawdzić, czy używasz właściwego poprzednika. Wzór jawny pozwala przeskoczyć do odległego indeksu, rekurencja zwykle wymaga kolejnych etapów.
Typowy błąd i kontrola
Sprawdź początek numerowania, liczbę wykonanych przejść i wszystkie znaki potęg. Nie dopisuj reguły na podstawie kilku wyników, jeśli zadanie podało już konkretną rekurencję.