Obliczanie wyrazów ciągu

Wyobraź sobie długi rząd ponumerowanych szafek. Każda szafka ma numer n, a wewnątrz znajduje się liczba a_n. Aby ją znaleźć, nie musisz otwierać wszystkich wcześniejszych szafek — wystarczy użyć reguły opisującej ciąg.

Na czym polega obliczanie wyrazów ciągu?

Obliczenie wyrazu ciągu oznacza znalezienie wartości a_n dla konkretnego numeru n. Najczęściej podstawiamy numer do wzoru ogólnego albo korzystamy z zależności między kolejnymi wyrazami.

Obliczanie ze wzoru ogólnego

Jeśli znamy wzór a_n, podstawiamy do niego numer szukanego wyrazu.

• Dla a_n=3n+4 mamy a₅=3·5+4=19.
• Dla a_n=n²-1 mamy a₆=6²-1=35.

Obliczanie kilku kolejnych wyrazów

Aby wypisać początek ciągu, podstawiamy kolejno n=1, n=2, n=3 i tak dalej.

Dla a_n=2n-1:

• a₁=1,
• a₂=3,
• a₃=5,
• a₄=7.

Uważaj na nawiasy

Jeżeli we wzorze występuje potęga lub znak minus, podstawiany numer warto zapisać w nawiasie. Na przykład dla a_n=(-1)ⁿ·(n+2) i n=3 otrzymujemy a₃=(-1)³·5=-5.

Obliczanie wyrazów z definicji rekurencyjnej

W ciągu rekurencyjnym kolejny wyraz obliczamy na podstawie wcześniejszego. Trzeba więc iść krok po kroku.

Jeśli a₁=4 oraz a_n+1=a_n+3, to:

• a₂=4+3=7,
• a₃=7+3=10,
• a₄=10+3=13.

Obliczanie wyrazu o dużym numerze

Przy wzorze ogólnym numer może być bardzo duży. Nie wypisujemy wtedy wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Dla a_n=5n-2 wyraz setny wynosi a₁₀₀=5·100-2=498.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim N-W-R-K: Numer, Wstaw, Rachuj, Kontroluj. W pałacu pamięci numer n stoi przy drzwiach, gigantyczna dźwignia wrzuca go do wzoru, roztańczony kalkulator rachuje, a na końcu mały kontroler w hełmie sprawdza znak, potęgę i kolejność działań.

Przykład krok po kroku

Dany jest ciąg a_n=2n²-n+1. Oblicz a₄.

• Krok 1: Numer wyrazu to n=4.
• Krok 2: Podstawiamy: a₄=2·4²-4+1.
• Krok 3: Obliczamy potęgę: 4²=16.
• Krok 4: Mnożymy: 2·16=32.
• Krok 5: 32-4+1=29.
• Krok 6: Odpowiedź: a₄=29.

Przykład rekurencyjny krok po kroku

Dany jest ciąg a₁=2 oraz a_n+1=2a_n+1. Oblicz a₄.

• a₂=2·2+1=5.
• a₃=2·5+1=11.
• a₄=2·11+1=23.

Jak sprawdzić poprawność wyniku?

• Ponownie przeczytaj numer szukanego wyrazu.
• Sprawdź, czy każda litera n została zastąpiona tym samym numerem.
• Kontroluj kolejność działań: potęgi, mnożenie, dodawanie i odejmowanie.
• Przy ciągu rekurencyjnym sprawdź, czy nie pominięto żadnego wcześniejszego wyrazu.

Najczęstsze błędy

• Podstawienie wartości a_n zamiast numeru n.
• Obliczenie a_n+1 zamiast a_n.
• Pomijanie potęgi lub błędne potęgowanie całego wyrażenia.
• Brak nawiasów przy liczbach ujemnych.
• W ciągu rekurencyjnym użycie niewłaściwego poprzedniego wyrazu.
• Rozpoczynanie od n=0, gdy numeracja ciągu zaczyna się od n=1.
• Wypisywanie wielu wyrazów, mimo że wzór ogólny pozwala od razu obliczyć szukany.

Najczęstsze pytania