Wzór na wyraz ogólny ciągu pozwala obliczyć wartość dla dowolnego dopuszczalnego indeksu. Podstawiamy numer wyrazu za każde wystąpienie \(n\), a następnie wykonujemy działania. Odwrotne pytanie, czy dana liczba występuje w ciągu, wymaga rozwiązania równania względem indeksu.
Wzór jawny i dziedzina indeksów
Dla \(a_n=3n-1\), \(n\in\mathbb N_+\), mamy \(a_1=2\), \(a_2=5\), \(a_3=8\). Możemy od razu obliczyć \(a_{100}=299\), bez wypisywania poprzednich \(99\) wartości.
Wzór musi mieć sens dla każdego indeksu z podanej dziedziny. Na przykład \(\frac1{n-2}\) nie określa wyrazu przy \(n=2\), więc bez odpowiedniego ograniczenia lub dodatkowego określenia nie definiuje ciągu dla wszystkich \(n\ge1\).
Podstawienie numeru w całym wzorze
Dla \(b_n=\frac{2n-1}{n+1}\) obliczamy \(b_3=\frac{2\cdot3-1}{3+1}=\frac54\). Trójkę wstawiamy i do licznika, i do mianownika. Dolny indeks nie oznacza mnożenia całego ułamka przez \(3\).
Przy \(c_n=(-1)^n\) o wyniku decyduje parzystość indeksu: dla nieparzystych \(n\) wynik to \(-1\), dla parzystych \(1\). Jeden wzór może więc opisywać ciąg, który nie rośnie ani nie maleje.
Czy wskazana liczba jest wyrazem ciągu?
Sprawdźmy, czy \(41\) występuje w ciągu \(a_n=3n-1\). Szukamy nie wartości dla indeksu \(41\), lecz indeksu dającego wartość \(41\).
- Przyrównaj wzór do wskazanej wartości.\(3n-1=41\)
- Rozwiąż równanie względem indeksu.\(3n=42\ \Longrightarrow\ n=14\)
- Sprawdź, czy indeks należy do dziedziny.\(14\in\mathbb N_+\)
- Podstaw indeks z powrotem do wzoru.\(a_{14}=3\cdot14-1=41\)
Liczba \(41\) jest czternastym wyrazem. Natomiast \(40\) dawałoby \(n=\frac{41}{3}\), co nie jest dodatnią liczbą całkowitą. Nie istnieje wyraz o takim numerze.
Możliwe odpowiedzi na pytanie o indeks
Równanie może dać brak dopuszczalnego indeksu, jeden albo kilka indeksów. Dla \(a_n=(n-3)^2\) wartość \(1\) występuje przy \(n=2\) oraz \(n=4\). Oba numery są dozwolone i trzeba podać oba.
Dla \(a_n=2n\) równanie \(a_n=0\) daje \(n=0\), ale przy numerowaniu od \(1\) ten wynik odpada. W ciągu skończonym trzeba również sprawdzić górny limit indeksu; rozwiązanie \(n=14\) nie pasuje do ciągu mającego tylko dziesięć wyrazów.
Jak proponować wzór z reguły?
Jeśli wiadomo, że pierwszy wyraz to \(2\), a każdy następny jest o \(3\) większy, dojście do miejsca \(n\) wymaga \(n-1\) przyrostów. Otrzymujemy \(a_n=2+3(n-1)=3n-1\).
Ten wzór dotyczy ciągu o stałej różnicy między kolejnymi wyrazami. Nie jest wzorem na dowolny ciąg.
Sama lista \(2,5,8,11\) nie dowodzi, że reguła „dodaj \(3\)” ma obowiązywać zawsze. Można zbudować inne wzory zgodne z tymi czterema liczbami. W pytaniu wyboru wolno porównać podane wzory z danymi, ale nie zakładaj jednoznaczności bez dodatkowej informacji.
Typowy błąd
Na końcu sprawdź dwie rzeczy osobno: czy obliczona wartość zgadza się z pytaniem i czy numer wyrazu jest dopuszczalny. Nie zaokrąglaj indeksu ułamkowego do całkowitego.