Ciąg liczbowy to uporządkowana lista liczb, w której każdy wyraz ma swój numer. Możemy traktować go jak funkcję określoną na kolejnych indeksach naturalnych. Symbol \(a_n\) oznacza wartość wyrazu o numerze \(n\).
Numer miejsca i liczba na tym miejscu
W ciągu \(3,6,9,12,\ldots\) pierwszy wyraz wynosi \(3\), drugi \(6\), a czwarty \(12\). Zapisujemy \(a_1=3\), \(a_2=6\), \(a_4=12\). Indeks \(4\) jest numerem miejsca, nie mnożnikiem litery \(a\).
Zapis \((a_n)\) oznacza cały ciąg, natomiast \(a_7\) jeden konkretny wyraz. Informacja \(a_6=-2\) mówi tylko o szóstym wyrazie; nie mówi, że ciąg kończy się na nim ani że wszystkie wyrazy są równe \(-2\).
To standardowy zapis nieskończonego ciągu rzeczywistego numerowanego od \(1\). Ciąg skończony o \(N\) wyrazach ma indeksy \(1,\ldots,N\).
Od którego numeru zaczynamy?
W tej lekcji, jeśli nie podano inaczej, \(n\in\mathbb N_+=\{1,2,3,\ldots\}\). Niektóre zadania zaczynają od \(n=0\). Wtedy pierwszy zapisany wyraz to \(a_0\), a piąty kolejno jest oznaczony \(a_4\).
Konwencję trzeba odczytać z treści. Ciąg \(a_n=n^2\) od indeksu \(1\) zaczyna się \(1,4,9\), a od indeksu \(0\) — \(0,1,4\). Ten sam wzór przy innym początku numerowania daje inną listę początkową.
Sposoby podawania ciągu
Ciąg skończony można podać pełną listą, np. \((2,5,8)\). Wzór jawny \(a_n=3n-1\) pozwala obliczyć dowolny wyraz bez poprzednich. Reguła rekurencyjna \(a_1=2\), \(a_{n+1}=a_n+3\) mówi, jak przechodzić od wyrazu do następnego.
W rekurencji potrzebny jest początek. Sama instrukcja „dodawaj \(3\)” pasuje zarówno do \(2,5,8,\ldots\), jak i \(10,13,16,\ldots\). Warunek początkowy wybiera konkretny ciąg.
Cztery pierwsze wyrazy krok po kroku
Dla \(a_n=2n-1\), \(n\ge1\), wpisujemy do wzoru kolejne numery. Nie podstawiamy otrzymanego wyniku jako następnego numeru.
- Oblicz pierwszy wyraz.\(a_1=2\cdot1-1=1\)
- Zwiększ indeks do \(2\), niezależnie od poprzedniej wartości.\(a_2=2\cdot2-1=3\)
- Podstaw kolejne dwa indeksy.\(a_3=2\cdot3-1=5,\qquad a_4=2\cdot4-1=7\)
- Zapisz wartości w kolejności.\(1,\ 3,\ 5,\ 7\)
Każdy indeks ma jeden wynik, ale różne indeksy mogą mieć taki sam wynik. Ciąg stały \(a_n=5\) jest poprawnym ciągiem: na każdym miejscu stoi ta sama liczba.
Wykres składa się z osobnych punktów
Na poziomej osi zaznaczamy indeks \(n\), na pionowej wartość \(a_n\). Dla ciągu z przykładu punkty to \((1,1)\), \((2,3)\), \((3,5)\), \((4,7)\). Nie łączymy ich odcinkami jako częściami wykresu, ponieważ np. indeks \(1{,}5\) nie należy do dziedziny.
Lista początkowych wyrazów bez dodatkowej reguły nie wyznacza jednoznacznie całego nieskończonego ciągu. Można ją kontynuować na wiele sposobów. Gdy zadanie prosi o wzór, wykorzystaj podaną regułę lub określoną klasę ciągu.
Typowy błąd
Zawsze rozdziel pytania „który wyraz?” i „ile wynosi?”. Sprawdź początek numerowania oraz to, czy szukany indeks istnieje w ciągu skończonym.