Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego pozwala zastąpić wielokrotne mnożenie jedną potęgą. Wykładnik opisuje liczbę przejść od pierwszego wyrazu do szukanego miejsca.
Najpierw kilka wyrazów
Dla \(a_1=2\) i \(q=3\) otrzymujemy \(2,6,18,54,162,\ldots\). Aby dojść do drugiego wyrazu, mnożymy raz. Do trzeciego — dwa razy. Do piątego — cztery razy. Iloczyn czterech trójek zapisujemy jako \(3^4\).
Nie mnożymy numeru wyrazu przez iloraz. Potęga oznacza powtarzane mnożenie: \(3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\), natomiast \(3\cdot4=12\).
Wzór i warunki
\(a_1\) — pierwszy wyraz, \(q\) — iloraz, \(n\) — numer szukanego wyrazu.
Dla \(q\neq0\) wzór działa także przy \(n=1\), ponieważ \(q^0=1\). Gdy \(q=0\), pierwszy wyraz przyjmujemy z danych, a wszystkie dalsze wynoszą zero; nie trzeba rozstrzygać zapisu \(0^0\).
Jeśli znamy wyraz o numerze \(k\), możemy ruszyć z niego: \(a_n=a_kq^{n-k}\). Przy cofnięciu w ciągu dzielimy przez odpowiednią potęgę, co wymaga \(q\neq0\).
Przykład z ujemnym ilorazem
Dany jest ciąg geometryczny o \(a_1=3\) i \(q=-2\). Obliczmy piąty wyraz.
- Ustal liczbę przejść od pierwszego miejsca do piątego.\(5-1=4\)
- Oblicz potęgę całego ujemnego ilorazu. Parzysta liczba ujemnych czynników daje wynik dodatni.\((-2)^4=16\)
- Pomnóż przez pierwszy wyraz.\(a_5=3\cdot16=48\)
Kontrola przez wypisanie: \(3,-6,12,-24,48\). Gdybyśmy szukali \(a_6\), piąta potęga ujemnego ilorazu dałaby wynik ujemny.
Szukanie numeru i pierwszego wyrazu
Dla \(a_1=5\), \(q=2\) pytamy, którym wyrazem jest \(40\). Równanie \(40=5\cdot2^{n-1}\) dzielimy przez \(5\), otrzymując \(8=2^{n-1}\). Ponieważ \(8=2^3\), mamy \(n-1=3\), więc \(n=4\). Numer musi być dodatnią liczbą całkowitą.
Jeśli znamy \(a_4=54\) i \(q=3\), równanie \(54=a_1\cdot3^3\) prowadzi do \(a_1=\frac{54}{27}=2\). Dzielimy przez potęgę, ponieważ cofamy trzy kolejne mnożenia.
Typowy błąd: wykładnik równy numerowi
Jak uniknąć pomyłki przy podstawianiu?
Ułamkowy lub ujemny iloraz zapisuj w nawiasie, na przykład \(\left(\frac12\right)^3\) i \((-2)^4\). Sprawdź pierwszy wyraz oraz jedno przejście. Jeżeli pytanie dotyczy wartości po określonej liczbie zmian od chwili początkowej, policz zmiany bezpośrednio — numeracja od zera daje wtedy wykładnik równy liczbie okresów.