Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Wyobraź sobie wieżę z nieskończenie wieloma piętrami. Na pierwszym piętrze leży liczba a₁, a winda q przy każdym przejeździe mnoży ją przez tę samą wartość. Nie musisz zatrzymywać się na każdym piętrze: wzór pozwala od razu dotrzeć na piętro numer n.

Od konkretu do wzoru

Rozważ ciąg 3, 6, 12, 24, 48. Pierwszy wyraz to a₁=3, a iloraz q=2.

• a₂=3·2
• a₃=3·2·2=3·2²
• a₄=3·2·2·2=3·2³

Widzimy, że liczba mnożeń przez q jest zawsze o 1 mniejsza od numeru wyrazu.

Wzór na n-ty wyraz

Dla ciągu geometrycznego:

a_n=a₁·q^n-1

We wzorze:

• a_n — szukany wyraz,
• a₁ — pierwszy wyraz,
• q — iloraz ciągu,
• n — numer wyrazu.

Dlaczego wykładnik wynosi n−1?

Od pierwszego do drugiego wyrazu wykonujemy jedno mnożenie przez q. Od pierwszego do piątego — cztery mnożenia. Dlatego liczba mnożeń to n−1.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-I-N-G: Pierwszy wyraz, Iloraz, Numer minus jeden, Gotowy wynik. W pałacu pamięci a₁ siedzi na parterze, q jest gigantyczną windą, a liczba n−1 to licznik przejazdów. Gdy chcesz znaleźć a₇, winda wykonuje sześć dzikich skoków, a za każdym skokiem liczba puchnie lub maleje zgodnie z q.

Przykład krok po kroku

W ciągu geometrycznym a₁=5 oraz q=3. Oblicz a₆.

• Krok 1: Zapisz wzór a_n=a₁·q^n-1.
• Krok 2: Podstaw n=6, a₁=5, q=3.
• Krok 3: a₆=5·3^6-1.
• Krok 4: a₆=5·3⁵.
• Krok 5: 3⁵=243.
• Krok 6: a₆=5·243=1215.

Przykład z ułamkowym ilorazem

Dla a₁=160, q=1/2 oblicz a₅.

• a₅=160·(1/2)⁴.
• (1/2)⁴=1/16.
• a₅=160·1/16=10.

Przykład z ujemnym q

Dla a₁=2, q=-3 oblicz a₄.

• a₄=2·(-3)³.
• (-3)³=-27.
• a₄=-54.

Wyznaczanie brakującej informacji

Ten sam wzór można wykorzystać do obliczania a₁, q lub n.

Przykład: a₁=4, a₅=324. Wtedy 324=4·q⁴, więc q⁴=81. Dla dodatniego ilorazu q=3.

Najczęstsze błędy

• Wpisywanie qⁿ zamiast q^n-1.
• Mylenie a₁ z a₀.
• Brak nawiasu przy ujemnym q, np. -2⁴ zamiast (-2)⁴.
• Błędne potęgowanie ułamka.
• Liczenie wszystkich wcześniejszych wyrazów mimo możliwości użycia wzoru.
• Pomijanie dwóch możliwych znaków q przy parzystej potędze.

Najczęstsze pytania