Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Wyobraź sobie, że na pierwszym polu szachownicy leży 1 ziarenko ryżu, na drugim 2, na trzecim 4, potem 8 i 16. Każde pole zawiera dwa razy więcej ziaren niż poprzednie. Chcemy policzyć wszystkie ziarenka na kilku pierwszych polach bez długiego dodawania.

Co oznacza suma początkowych wyrazów?

Symbol S_n oznacza sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego:

S_n=a₁+a₂+...+a_n

Wzór dla q różnego od 1

Jeżeli q≠1, to:

S_n=a₁(1-qⁿ)/(1-q)

Równoważnie można użyć postaci:

S_n=a₁(qⁿ-1)/(q-1)

Obie postacie dają ten sam wynik. Wybierz tę, w której łatwiej uniknąć znaków minus.

Przypadek q=1

Jeśli q=1, wszystkie wyrazy są równe a₁, więc:

S_n=n·a₁

Dlaczego wzór działa?

Zapisz sumę i pomnóż ją przez q:

• S_n=a₁+a₁q+...+a₁q^n-1
• qS_n=a₁q+a₁q²+...+a₁qⁿ

Po odjęciu większość składników znika:

S_n-qS_n=a₁-a₁qⁿ

S_n(1-q)=a₁(1-qⁿ)

Po podzieleniu przez 1-q otrzymujemy wzór.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-P-D: Pierwszy wyraz, Potęga q do n, Dziel przez różnicę jedynek. W pałacu pamięci pierwszy wyraz a₁ stoi przy drzwiach, q wskakuje do gigantycznej windy potęgowej i jedzie na piętro n. Potem dwa wielkie znaki odejmowania ścierają się jak miecze, a całość wpada do ułamkowej zjeżdżalni.

Przykład krok po kroku

Oblicz sumę pierwszych 6 wyrazów ciągu geometrycznego, gdy a₁=3 i q=2.

• Krok 1: Zapisz wzór S_n=a₁(qⁿ-1)/(q-1).
• Krok 2: S₆=3(2⁶-1)/(2-1).
• Krok 3: 2⁶=64.
• Krok 4: S₆=3(64-1)/1.
• Krok 5: S₆=3·63=189.

Przykład z ułamkowym q

Dla a₁=64, q=1/2 i n=5:

• S₅=64(1-(1/2)⁵)/(1-1/2).
• (1/2)⁵=1/32.
• S₅=64·(31/32)/(1/2).
• S₅=62·2=124.

Przykład dla q=1

Jeśli a₁=7, q=1 i n=8, to każdy wyraz jest równy 7.

S₈=8·7=56.

Zastosowanie praktyczne

Piłka spada z wysokości 10 m, a każde kolejne odbicie osiąga 60% poprzedniej wysokości. Suma wysokości pierwszych 5 wzniesień po odbiciu tworzy ciąg geometryczny o a₁=6 i q=0,6.

• S₅=6(1-0,6⁵)/(1-0,6).
• 0,6⁵=0,07776.
• S₅=6·0,92224/0,4=13,8336.

Najczęstsze błędy

• Stosowanie wzoru dla q=1 i dzielenie przez zero.
• Mylenie qⁿ z q^n-1.
• Zmiana tylko jednego znaku przy przechodzeniu między równoważnymi postaciami wzoru.
• Brak nawiasów przy ujemnym q.
• Błędne potęgowanie ułamka dziesiętnego.
• Mylenie sumy S_n z n-tym wyrazem a_n.

Najczęstsze pytania