Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego to \(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\). Wzór na sumę pozwala dodać wiele wyrazów bez wypisywania ich wszystkich. Trzeba znać pierwszy wyraz, iloraz i liczbę składników.
Wyraz a suma
Dla ciągu \(3,6,12,24,\ldots\) czwarty wyraz wynosi \(a_4=24\), a suma czterech pierwszych wynosi \(S_4=3+6+12+24=45\). Gdy pytanie dotyczy łącznej liczby elementów, najczęściej potrzebna jest suma. Gdy pyta o jedną konkretną chwilę lub pozycję, może chodzić tylko o wyraz.
Skąd bierze się wzór?
Zapiszmy \(S_4=3+6+12+24\). Po pomnożeniu przez iloraz \(2\) mamy \(2S_4=6+12+24+48\). Odejmowanie pierwszej równości od drugiej usuwa powtarzające się składniki: \(2S_4-S_4=48-3=45\).
\(n\) — liczba dodawanych wyrazów. Dla \(q=1\) używamy osobno \(S_n=na_1\).
Równoważna postać to \(S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\). Możesz wybrać wygodniejszą, lecz zmieniaj znaki jednocześnie w liczniku i mianowniku. We wzorze na sumę występuje \(q^n\), mimo że we wzorze na ostatni wyraz jest \(q^{n-1}\).
Przykład krok po kroku
Obliczmy \(S_5\) dla ciągu geometrycznego o \(a_1=1\), \(q=3\).
- Sprawdź, czy można użyć wzoru z dzieleniem.\(q=3\neq1\)
- Oblicz potęgę ilorazu o wykładniku równym liczbie składników.\(q^n=3^5=243\)
- Podstaw, a następnie odejmij przed wykonaniem dzielenia.\(S_5=1\cdot\frac{243-1}{3-1}=\frac{242}{2}=121\)
Kontrola bez wzoru: \(1+3+9+27+81=121\). Ostatni wyraz \(81\) i suma \(121\) to różne wyniki.
Ułamek, ujemny iloraz i ciąg stały
Dla \(a_1=16\), \(q=\frac12\), \(n=4\) wygodna jest druga postać: \(S_4=16\cdot\frac{1-\frac1{16}}{1-\frac12}=16\cdot\frac{15}{16}\cdot2=30\). Zgadza się to z \(16+8+4+2=30\).
Przy \(q=-2\) i \(a_1=2\) suma czterech wyrazów wynosi \(2-4+8-16=-10\). Ujemna suma jest możliwa. Natomiast przy \(q=1\) i \(a_1=7\) każdy wyraz wynosi \(7\), więc suma dziesięciu wynosi \(70\).
Typowy błąd
Jak sprawdzić wybór wzoru?
Najpierw upewnij się, że ciąg jest geometryczny i że sumujesz dokładnie \(n\) kolejnych wyrazów od pierwszego. Sprawdź przypadek \(q=1\). Przy ujemnym ilorazie zadbaj o nawias w potędze. Dla małej liczby wyrazów dodaj je bezpośrednio jako niezależną kontrolę.