Zadanie tekstowe z ciągiem polega na opisaniu powtarzalnej zmiany za pomocą wyrazów, a następnie obliczeniu konkretnego wyrazu lub sumy. Najważniejsze jest ustalenie, co oznacza jeden wyraz i od jakiej chwili zaczynamy liczenie.
Jak czytać treść?
Zanim wybierzesz wzór, zapisz jedno zdanie: „\(a_n\) oznacza…”. Może chodzić o liczbę miejsc w \(n\)-tym rzędzie, wpłatę w \(n\)-tym tygodniu albo stan po \(n\) godzinach. To różne wielkości. Suma wpłat i stan konta z naliczanymi odsetkami nie muszą być tym samym.
Zwróć uwagę na słowa „w piątym tygodniu”, „przez pięć tygodni” i „po pięciu zmianach”. Pierwsze często prowadzą do wyrazu, drugie do sumy, a trzecie wymagają policzenia pięciu przejść od wartości początkowej.
Dodawanie czy mnożenie?
| Opis zmiany | Model | Parametr |
|---|---|---|
| Co tydzień o \(20\) sztuk więcej | Arytmetyczny | \(r=20\) |
| Co godzinę dwa razy tyle | Geometryczny | \(q=2\) |
| Co rok wzrost o \(8\%\) aktualnej wartości | Geometryczny | \(q=1{,}08\) |
| Co rok spadek o \(8\%\) aktualnej wartości | Geometryczny | \(q=0{,}92\) |
„O tyle samo” zwykle oznacza dodawanie. „Tyle samo razy” oznacza mnożenie. Przy procencie sprawdź podstawę: stały procent aktualnej wartości prowadzi do procentu składanego, natomiast stały procent wartości początkowej daje jednakowe przyrosty.
Przykład: łączna kwota oszczędności
W pierwszym tygodniu odłożono \(50\) zł, a w każdym kolejnym o \(10\) zł więcej. Nie naliczamy odsetek. Ile odłożono łącznie przez cztery tygodnie?
- Wyraz oznacza wpłatę w danym tygodniu. Ustal początek, zmianę i liczbę wpłat.\(a_1=50,\quad r=10,\quad n=4\)
- Oblicz ostatnią wpłatę. Przed czwartą wpłatą są trzy zwiększenia.\(a_4=50+3\cdot10=80\)
- Dodaj wszystkie wpłaty wzorem na sumę arytmetyczną.\(S_4=\frac{4(50+80)}2=260\)
Łącznie odłożono \(260\) zł. Sprawdzenie: \(50+60+70+80=260\). Kwota \(80\) zł odpowiada tylko czwartej wpłacie.
Przykład: liczba po kolejnych zmianach
Początkowo w modelowej hodowli jest \(100\) bakterii, a ich liczba podwaja się co godzinę. Oznaczmy stan początkowy przez \(b_0=100\). Po godzinie mamy \(b_1=200\), po dwóch \(b_2=400\), a po trzech \(b_3=800\).
Od chwili początkowej zaszły trzy podwojenia, dlatego \(b_3=100\cdot2^3=800\). Nie dodajemy stanów \(100+200+400+800\), ponieważ pytanie dotyczy liczby bakterii w jednej chwili, a nie sumy odczytów.
Typowy błąd: niejasny początek liczenia
Odpowiedź musi pasować do sytuacji
Dopisz jednostkę i sprawdź, czy wynik dotyczy wyrazu, sumy czy liczby okresów. Liczba rzędów lub tygodni musi być całkowita. Model z odejmowaniem nie może dawać ujemnej liczby miejsc lub klocków: jeśli do tego prowadzi, trzeba sprawdzić granice sytuacji opisanej w zadaniu.