Zadania tekstowe z ciągami

Wyobraź sobie dwa automaty. Pierwszy za każdym razem dorzuca dokładnie 5 zł, a drugi za każdym razem podwaja zgromadzoną kwotę. Oba tworzą ciągi, ale działają inaczej. Zadanie tekstowe polega przede wszystkim na rozpoznaniu, który automat opisuje sytuację.

Od konkretu do modelu

W zadaniach z ciągami najczęściej spotkasz dwa schematy:

• Ciąg arytmetyczny — każda kolejna wartość zmienia się o stałą różnicę r.
• Ciąg geometryczny — każda kolejna wartość jest mnożona przez stały iloraz q.

Najważniejsze pytanie brzmi: czy sytuacja opisuje stały przyrost, czy stałą zmianę procentową lub mnożnik?

Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny?

Szukaj sformułowań takich jak: co miesiąc o 100 zł więcej, każdy rząd ma o 3 miejsca więcej, temperatura spada codziennie o 2 stopnie.

Wtedy korzystamy ze wzoru:

a_n=a₁+(n-1)r

Jak rozpoznać ciąg geometryczny?

Szukaj sformułowań: rośnie o 10%, maleje o 20%, podwaja się, każda kolejna wartość stanowi 3/4 poprzedniej.

Wtedy korzystamy ze wzoru:

a_n=a₁·q^n-1

Gdy pytanie dotyczy sumy

Jeżeli zadanie pyta o łączną liczbę, całkowity koszt, sumę wpłat lub wszystkie przebyte odcinki, potrzebujesz sumy ciągu.

• Dla ciągu arytmetycznego: S_n=n(a₁+a_n)/2.
• Dla ciągu geometrycznego i q≠1: S_n=a₁(1-qⁿ)/(1-q).

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim C-I-Ą-G: Czytaj pytanie, Identyfikuj zmianę, Ą — aż znajdziesz dane a₁, r lub q, Gotowy wzór i kontrola wyniku. W pałacu pamięci stoisz na stacji kolejowej. Pociąg arytmetyczny dokłada do każdego wagonu ten sam ciężki klocek, a pociąg geometryczny pompuje każdy wagon gigantyczną pompką procentową. Jeśli pytanie mówi „łącznie”, wszystkie wagony wpadają do wielkiego worka oznaczonego S_n.

Przykład 1: ciąg arytmetyczny krok po kroku

W pierwszym rzędzie sali jest 12 miejsc, a w każdym kolejnym o 3 miejsca więcej. Ile miejsc jest w 10. rzędzie?

• Krok 1: Stały przyrost o 3 oznacza ciąg arytmetyczny.
• Krok 2: a₁=12, r=3, n=10.
• Krok 3: a₁₀=12+(10-1)·3.
• Krok 4: a₁₀=12+27=39.
• Odpowiedź: w 10. rzędzie jest 39 miejsc.

Przykład 2: suma ciągu arytmetycznego

Ile miejsc znajduje się łącznie w pierwszych 10 rzędach tej sali?

• Krok 1: Wiemy już, że a₁₀=39.
• Krok 2: S₁₀=10(12+39)/2.
• Krok 3: S₁₀=5·51=255.
• Odpowiedź: łącznie jest 255 miejsc.

Przykład 3: ciąg geometryczny krok po kroku

Liczba bakterii wynosi początkowo 500 i co godzinę rośnie o 20%. Ile będzie ich po 6 godzinach, jeśli początkowy stan traktujemy jako pierwszy wyraz?

• Krok 1: Wzrost o 20% oznacza mnożenie przez q=1,2.
• Krok 2: a₁=500, q=1,2, n=7, ponieważ po 6 zmianach dochodzimy do siódmego wyrazu.
• Krok 3: a₇=500·1,2⁶.
• Krok 4: 1,2⁶=2,985984.
• Krok 5: a₇=1492,992.
• Odpowiedź: około 1493 bakterie.

Przykład 4: oszczędzanie

Uczeń wpłaca w pierwszym miesiącu 100 zł, a w każdym następnym o 20 zł więcej. Ile wpłaci w ciągu 12 miesięcy?

• a₁=100, r=20, n=12.
• a₁₂=100+11·20=320.
• S₁₂=12(100+320)/2.
• S₁₂=6·420=2520.

Przykład 5: spadek wartości

Sprzęt kosztuje 8000 zł i co roku traci 15% wartości. Jaka będzie jego wartość po 3 latach?

• Po każdym roku pozostaje 85%, więc q=0,85.
• Po 3 zmianach: 8000·0,85³.
• 0,85³=0,614125.
• Wartość wynosi 4913 zł.

Jak sprawdzić wynik?

• Przy dodatnim r wynik powinien rosnąć liniowo.
• Przy q większym od 1 wynik powinien rosnąć coraz szybciej.
• Przy q między 0 a 1 wartości powinny maleć, ale pozostać dodatnie.
• Jednostka odpowiedzi musi pasować do pytania: zł, miejsca, metry, sztuki.

Najczęstsze błędy

• Mylenie wzrostu o 20% z dodaniem liczby 20.
• Przyjmowanie q=0,2 zamiast q=1,2 przy wzroście o 20%.
• Przyjmowanie q=0,15 zamiast q=0,85 przy spadku o 15%.
• Mylenie pytania o pojedynczy wyraz z pytaniem o sumę.
• Błąd o jeden w numerze wyrazu przy liczeniu liczby wykonanych zmian.
• Brak odpowiedzi z jednostką i interpretacją.

Najczęstsze pytania