Procent składany oznacza, że w każdym okresie procent naliczamy od aktualnej wartości, razem z wcześniej doliczonymi przyrostami. Dlatego jednakowe oprocentowanie daje kolejne mnożenia przez ten sam czynnik, a nie dodawanie tej samej kwoty.
Procent jako mnożnik
Jeden procent to jedna setna całości. Wzrost o \(5\%\) oznacza pozostawienie całej dotychczasowej wartości i dodanie jej pięciu setnych: \(K+0{,}05K=1{,}05K\). Liczba \(1{,}05\) jest mnożnikiem nowej wartości, a \(0{,}05\) służy do obliczenia samego przyrostu.
Spadek o \(5\%\) daje mnożnik \(1-0{,}05=0{,}95\). Przy zmianie o \(p\%\) używamy odpowiednio \(1+\frac p{100}\) albo \(1-\frac p{100}\). Nie wstawiamy samego \(p\) bez zamiany procentu na ułamek.
Skąd potęga we wzorze?
\(K_0\) — stan przed pierwszym naliczeniem, \(p\%\) — stopa na jeden okres, \(n\) — liczba pełnych okresów.
W modelu zakładamy stałą stopę, brak wpłat i wypłat oraz brak podatków i opłat. Jeden okres może oznaczać rok, miesiąc lub inną jednostkę podaną w zadaniu. Stopa i liczba okresów muszą dotyczyć tej samej jednostki czasu.
Wykładnik to \(n\), ponieważ od \(K_0\) wykonujemy \(n\) zmian. Nie odejmujemy jedynki tak jak przy numeracji ciągu rozpoczynającej się od \(a_1\).
Dwa lata rozpisane bez skrótów
Kapitał początkowy wynosi \(2000\) zł. Oprocentowanie to \(5\%\) na rok, kapitalizacja następuje raz w roku. Kapitalizacja oznacza dopisanie odsetek do kapitału.
- Oblicz odsetki w pierwszym roku i dopisz je do kapitału.\(0{,}05\cdot2000=100,\qquad K_1=2100\)
- W drugim roku podstawą jest już nowa kwota.\(0{,}05\cdot2100=105,\qquad K_2=2205\)
- Sprawdź obliczenie jednym wzorem.\(K_2=2000\cdot1{,}05^2=2205\)
Łączny przyrost wynosi \(2205-2000=205\) zł. Odsetki w drugim roku są większe, choć stopa procentowa się nie zmieniła.
Spadki i odtwarzanie wartości początkowej
Przedmiot wart \(800\) zł traci dwa razy po \(10\%\) aktualnej wartości. Po pierwszym spadku jest wart \(800\cdot0{,}9=720\) zł, a po drugim \(720\cdot0{,}9=648\) zł. Łączny spadek wynosi \(152\) zł, czyli \(19\%\) wartości początkowej.
Jeśli znamy stan końcowy \(1210\) zł po dwóch wzrostach po \(10\%\), odwracamy mnożenie: \(K_0=\frac{1210}{1{,}1^2}=1000\). Nie odejmujemy po prostu dwóch razy dziesięciu procent końcowej kwoty.
Typowy błąd: dodawanie procentów
Jak sprawdzić model?
Ustal wartość początkową, stopę na jeden okres i liczbę naliczeń. Przy zmiennych stopach mnożniki zapisujemy osobno, na przykład wzrost o \(10\%\), a potem spadek o \(10\%\) daje \(1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99\). Wartość spada wtedy łącznie o \(1\%\). Zaokrąglaj zgodnie z treścią zadania; jeśli nie podano inaczej, zachowaj dokładność w obliczeniach i zaokrąglij dopiero odpowiedź.