Procent składany

Wyobraź sobie kulę śnieżną staczającą się ze zbocza. Na początku jest mała, ale z każdym obrotem przykleja się do niej kolejna warstwa śniegu. Co ważne, nowa warstwa rośnie już na większej kuli. Tak właśnie działa procent składany: odsetki są naliczane nie tylko od kapitału początkowego, lecz także od wcześniejszych odsetek.

Od konkretu do modelu

Jeśli wpłacasz 1000 zł na lokatę oprocentowaną 5% rocznie, po pierwszym roku masz:

1000·1,05=1050 zł

Po drugim roku bank nalicza 5% już od 1050 zł:

1050·1,05=1102,50 zł

Kwoty tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q=1,05.

Wzór na procent składany

Po n okresach kapitał wynosi:

K_n=K₀·(1+p/100)ⁿ

gdzie:

• K₀ — kapitał początkowy,
• p — oprocentowanie w procentach na jeden okres,
• n — liczba okresów kapitalizacji,
• K_n — kapitał końcowy.

Spadek procentowy

Jeśli wartość co okres maleje o p%, stosujemy mnożnik:

q=1-p/100

Wtedy:

K_n=K₀·(1-p/100)ⁿ

Kapitalizacja częstsza niż raz w roku

Jeśli odsetki są dopisywane m razy w roku, a roczna stopa procentowa wynosi p%, to przy równych okresach:

K=K₀·(1+p/(100m))^mn

Przykład: kapitalizacja kwartalna oznacza m=4.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-P-O-T: Kapitał, Procent zamień na mnożnik, Okresy wpisz do potęgi, Test wyniku. W pałacu pamięci kapitał siedzi na środku salonu jako mała kula śnieżna. Procent zamienia się w gigantyczny płaszcz z napisem 1+p/100, który zakładasz na kulę tyle razy, ile wskazuje liczba okresów. Gdy procent oznacza spadek, płaszcz ma dziury i za każdym razem kula trochę chudnie.

Przykład krok po kroku

Wpłacono 5000 zł na lokatę oprocentowaną 4% rocznie. Ile będzie na koncie po 3 latach?

• Krok 1: K₀=5000.
• Krok 2: p=4, więc mnożnik q=1+4/100=1,04.
• Krok 3: n=3.
• Krok 4: K₃=5000·1,04³.
• Krok 5: 1,04³=1,124864.
• Krok 6: K₃=5624,32 zł.

Przykład ze spadkiem wartości

Samochód kosztuje 80 000 zł i każdego roku traci 12% wartości. Jaka będzie jego wartość po 4 latach?

• Po każdym roku pozostaje 88%, więc q=0,88.
• K₄=80000·0,88⁴.
• 0,88⁴=0,59969536.
• K₄=47 975,63 zł po zaokrągleniu do groszy.

Przykład z kapitalizacją kwartalną

Kapitał 10 000 zł jest oprocentowany 8% w skali roku, a odsetki dopisywane są co kwartał. Oblicz wartość po 2 latach.

• m=4, n=2.
• Stopa na kwartał: 8%/4=2%.
• Liczba okresów: 4·2=8.
• K=10000·1,02⁸.
• 1,02⁸≈1,171659.
• K≈11 716,59 zł.

Procent składany a procent prosty

Przy procencie prostym odsetki naliczane są wyłącznie od kapitału początkowego. Przy procencie składanym podstawa naliczania rośnie lub maleje po każdym okresie.

• Procent prosty: przyrost liniowy.
• Procent składany: zmiana geometryczna.

Jak sprawdzić wynik?

• Przy dodatnim oprocentowaniu wynik powinien być większy od kapitału początkowego.
• Przy spadku o p% mnożnik musi leżeć między 0 a 1.
• Liczba okresów w potędze musi odpowiadać liczbie kapitalizacji, a nie tylko liczbie lat.
• Kwoty pieniężne zaokrąglaj zwykle do dwóch miejsc po przecinku.

Najczęstsze błędy

• Używanie q=p/100 zamiast q=1+p/100 przy wzroście.
• Używanie q=p/100 zamiast q=1-p/100 przy spadku.
• Dodawanie tego samego procentu od kapitału początkowego w każdym okresie.
• Mylenie liczby lat z liczbą kapitalizacji.
• Zaokrąglanie zbyt wcześnie, co zniekształca końcowy wynik.
• Brak jednostki pieniężnej w odpowiedzi.

Najczęstsze pytania