Kapitalizacja odsetek to dopisywanie naliczonych odsetek do kapitału. W zadaniach o lokatach trzeba dopasować stopę procentową do częstotliwości kapitalizacji. W zadaniach o kredytach dodatkowo śledzimy spłaty, ponieważ zmieniają one pozostały dług.
Najpierw uporządkuj pojęcia
Kapitał to kwota, od której naliczamy odsetki. Stopa nominalna roczna opisuje oprocentowanie podawane w skali roku. Okres kapitalizacji to czas pomiędzy kolejnymi dopisaniami odsetek. W modelach tego tematu pomijamy podatki, opłaty i dodatkowe wpłaty, chyba że zostaną podane w zadaniu.
Kapitalizacja półroczna daje dwa okresy w roku, kwartalna cztery, a miesięczna dwanaście. Jeżeli zadanie podaje nominalną stopę roczną \(8\%\) i kapitalizację kwartalną, stopa na kwartał wynosi \(2\%\). Nie naliczamy całych \(8\%\) w każdym kwartale.
Dopasowanie stopy i liczby okresów
\(p\%\) — nominalna stopa roczna, \(m\) — liczba kapitalizacji w roku, \(t\) — czas w latach. Zakładamy całkowitą liczbę pełnych okresów \(mt\).
Dzielimy roczną stopę przez liczbę okresów w roku, a liczbę lat przez tę samą liczbę mnożymy. Dla trzech lat i kapitalizacji miesięcznej mamy \(36\) okresów. Jeśli podano już stopę miesięczną, nie dzielimy jej ponownie przez dwanaście.
Lokata krok po kroku
Wpłacono \(5000\) zł na rok przy nominalnej stopie rocznej \(4\%\) i kapitalizacji półrocznej. Obliczmy kwotę bez podatków i opłat.
- W roku są dwa półrocza, więc stopa na jedno wynosi dwa procent.\(\frac{4\%}{2}=2\%=0{,}02\)
- Po pierwszym półroczu dolicz odsetki do kapitału.\(K_1=5000\cdot1{,}02=5100\)
- Drugie naliczenie obejmuje także wcześniejsze odsetki.\(K_2=5100\cdot1{,}02=5202\)
Łączne odsetki wynoszą \(202\) zł. Dzieląc je przez kapitał początkowy, dostajemy \(\frac{202}{5000}=0{,}0404\), czyli efektywny wzrost o \(4{,}04\%\). Różnica wobec nominalnych \(4\%\) wynika z ponownego oprocentowania dopisanych odsetek.
Dlaczego kredyt wymaga innego zapisu?
Rozważmy uproszczony dług \(1000\) zł. Co miesiąc najpierw doliczamy \(1\%\) odsetek, potem spłacamy \(110\) zł. Po pierwszym miesiącu pozostaje \(1000\cdot1{,}01-110=900\) zł. Po drugim \(900\cdot1{,}01-110=799\) zł.
Zależność ma postać \(D_{k+1}=1{,}01D_k-110\). Litera \(D_k\) oznacza dług po poprzedniej spłacie. Sam wzór \(1000\cdot1{,}01^n\) opisywałby narastanie długu bez spłat, więc nie odpowiada temu zadaniu.
Typowa pomyłka
Kontrola warunków zadania
Sprawdź, czy stopa jest roczna, czy okresowa, kiedy następuje wpłata lub spłata i kiedy naliczane są odsetki. Suma spłat nie jest tym samym co kwota odsetek. Jeśli zadanie nakazuje zaokrąglać po każdej kapitalizacji, wykonuj to po każdym okresie; w przeciwnym razie nie zaokrąglaj przedwcześnie.