Wzory Viète’a pozwalają obliczyć sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego bez wyznaczania każdego pierwiastka osobno. Pomagają też odtworzyć równanie z danych rozwiązań i sprawdzić wynik uzyskany inną metodą.
Co oznacza pierwiastek równania
Pierwiastek równania to liczba, która je spełnia. Nie chodzi tutaj o znak \(\sqrt{\phantom{x}}\). Na przykład pierwiastkami \(x^2-5x+6=0\) są \(2\) i \(3\), ponieważ \(4-10+6=0\) oraz \(9-15+6=0\). Możemy nazwać je \(x_1\) i \(x_2\). Indeksy jedynie odróżniają dwie liczby.
Suma tych pierwiastków wynosi \(2+3=5\), a iloczyn \(2\cdot3=6\). Wzory Viète’a pozwalają odczytać te dwie wielkości bez wcześniejszego obliczania samych \(2\) i \(3\). Potrzebujemy współczynników z postaci \(ax^2+bx+c=0\), z warunkiem \(a\neq0\).
Pracujemy w liczbach rzeczywistych, dlatego upewniamy się, że pierwiastki istnieją: musi zachodzić \(\Delta\geq0\). Dla delty równej zero we wzorach przyjmujemy dwa razy ten sam pierwiastek podwójny. Przy ujemnej delcie nie mówimy o sumie dwóch rzeczywistych pierwiastków, których nie ma.
Skąd biorą się wzory
Jeśli pierwiastkami są \(x_1,x_2\), trójmian można zapisać jako \(a(x-x_1)(x-x_2)\). Mnożenie nawiasów daje \(ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2\). Porównując ten zapis z \(ax^2+bx+c\), widzimy, skąd pochodzi minus przy sumie.
Współczynniki odczytujemy razem ze znakami. Dla pierwiastków rzeczywistych wymagamy \(\Delta\geq0\); pierwiastek podwójny liczymy we wzorach dwa razy.
W równaniu \(x^2-5x+6=0\) mamy \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\). Stąd suma to \(-(-5)/1=5\), a iloczyn \(6/1=6\). Ujemne \(b\) nie oznacza więc automatycznie ujemnej sumy.
Pełny przykład z innym współczynnikiem przy kwadracie
Dla \(2x^2-7x+3=0\) obliczmy sumę i iloczyn pierwiastków. Nie pomijamy dzielenia przez \(a\), ponieważ współczynnik przy kwadracie nie jest równy jeden.
- Odczytaj trzy współczynniki.\(a=2,\quad b=-7,\quad c=3\)
- Potwierdź istnienie pierwiastków rzeczywistych.\(\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25\gt0\)
- Oblicz sumę ze znakiem minus przed całym \(b\).\(x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac72\)
- Oblicz iloczyn, bez dodatkowego minusa.\(x_1x_2=\frac32\)
Dla kontroli pierwiastki wynoszą \(\frac12\) i \(3\). Ich suma to \(\frac12+3=\frac72\), a iloczyn \(\frac12\cdot3=\frac32\). Gdy polecenie pyta tylko o sumę i iloczyn, takie wyznaczanie pierwiastków jest dodatkową kontrolą, nie koniecznym etapem odpowiedzi.
Odtwarzanie równania i szukanie drugiego pierwiastka
Równanie moniczne to równanie, w którym współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(1\). Jeżeli jego pierwiastkami mają być \(p,q\), zapisujemy \((x-p)(x-q)=0\). Po rozwinięciu otrzymujemy \(x^2-(p+q)x+pq=0\).
Dla \(p=-1\), \(q=6\) suma wynosi \(5\), a iloczyn \(-6\). Równanie ma więc postać \(x^2-5x-6=0\). Minus przed sumą i ujemny iloczyn pochodzą z dwóch różnych miejsc wzoru. Możemy sprawdzić wynik, mnożąc \((x+1)(x-6)\).
Jeżeli wiemy, że jednym pierwiastkiem \(x^2-7x+12=0\) jest \(3\), drugi znajdziemy z sumy: \(3+x_2=7\), więc \(x_2=4\). Iloczyn \(3\cdot4=12\) potwierdza odpowiedź. Gdy znany pierwiastek jest zerem, nie dzielimy przez niego iloczynu; korzystamy z sumy.
Co można ustalić bez liczenia pierwiastków
Ujemny iloczyn dwóch rzeczywistych pierwiastków oznacza przeciwne znaki. Dodatni iloczyn oznacza znaki jednakowe: dodatnia suma wskazuje dwa dodatnie pierwiastki, a ujemna dwa ujemne. Iloczyn zero oznacza, że co najmniej jeden pierwiastek wynosi zero.
Można też obliczyć sumę kwadratów. Z rozwinięcia \((x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\) wynika \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\). Dla sumy \(5\) i iloczynu \(6\) otrzymujemy \(25-12=13\). Nie myl sumy kwadratów z kwadratem sumy.
Typowy błąd i kontrola
Zawsze sprawdź postać równania, istnienie pierwiastków oraz dzielenie przez \(a\). Jeżeli otrzymasz konkretne pierwiastki, ich suma i iloczyn muszą zgadzać się jednocześnie; sama zgodna suma nie potwierdza całego wyniku.