Wzory Viète'a

Wyobraź sobie dwoje ludzi niosących wspólnie dwie informacje: ile wynosi ich suma i jaki jest ich iloczyn. Tak właśnie zachowują się pierwiastki równania kwadratowego we wzorach Viète’a.

Równanie kwadratowe i jego pierwiastki

Rozważamy równanie ax²+bx+c=0, gdzie a≠0. Jeśli ma ono pierwiastki x₁ i x₂, to można je powiązać ze współczynnikami a, b i c.

Wzory Viète’a

• x₁+x₂=-b/a
• x₁·x₂=c/a

Pierwszy wzór opisuje sumę pierwiastków, a drugi ich iloczyn.

Skąd biorą się te zależności?

Jeśli równanie ma pierwiastki x₁ i x₂, można zapisać je w postaci iloczynowej:

a(x-x₁)(x-x₂)=0

Po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy:

ax²-a(x₁+x₂)x+a·x₁x₂=0

Porównanie współczynników daje właśnie wzory Viète’a.

Przykład podstawowy

Dla równania x²-5x+6=0 mamy a=1, b=-5, c=6.

• x₁+x₂=-(-5)/1=5
• x₁·x₂=6/1=6

Liczby 2 i 3 mają sumę 5 oraz iloczyn 6, więc są pierwiastkami tego równania.

Gdy współczynnik a jest różny od 1

Dla równania 2x²-7x+3=0:

• x₁+x₂=7/2
• x₁·x₂=3/2

Nie wolno zapominać o dzieleniu przez a.

Jak zbudować równanie z podanych pierwiastków?

Jeśli pierwiastkami mają być p i q, można zapisać:

(x-p)(x-q)=0

Po wymnożeniu:

x²-(p+q)x+pq=0

Przykład: pierwiastki 4 i -1 dają równanie x²-3x-4=0.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj hasło SUMA Z MINUSEM, ILOCZYN BEZ ZMIANY. Wyobraź sobie pałac z dwiema salami. W pierwszej sali dwa pierwiastki x₁ i x₂ wskakują razem na gigantyczną wagę z napisem SUMA. Nagle nad nimi przelatuje minus jak czarny nietoperz i przyczepia się do litery b, a całość spada na platformę a. W drugiej sali pierwiastki ściskają się w iloczynie, a obok spokojnie stoją c i a bez żadnego dodatkowego minusa. Taki spacer przypomina: suma to -b/a, iloczyn to c/a.

Przykład krok po kroku

Sprawdź bez rozwiązywania równania, czy liczby 1 i 4 mogą być pierwiastkami równania x²-5x+4=0.

• Krok 1: Odczytaj a=1, b=-5, c=4.
• Krok 2: Oblicz wymaganą sumę: -b/a=5.
• Krok 3: Oblicz sumę liczb: 1+4=5.
• Krok 4: Oblicz wymagany iloczyn: c/a=4.
• Krok 5: Oblicz iloczyn liczb: 1·4=4.
• Krok 6: Obie zależności są spełnione, więc 1 i 4 są pierwiastkami równania.

Zastosowania wzorów Viète’a

• Szybkie sprawdzanie obliczonych pierwiastków.
• Dobieranie pierwiastków bez pełnego rozwiązywania równania.
• Układanie równania o zadanych pierwiastkach.
• Obliczanie wyrażeń takich jak x₁²+x₂².

Obliczanie wyrażeń z pierwiastkami

Korzystamy z zależności:

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂

Dla równania x²-5x+6=0 otrzymujemy 5²-2·6=25-12=13.

Najczęstsze błędy

• Pominięcie minusa we wzorze na sumę.
• Brak dzielenia przez a.
• Zamiana sumy z iloczynem.
• Stosowanie wzorów do liczb, które nie są pierwiastkami równania.
• Błędne wymnażanie równania z zadanych pierwiastków.
• Zakładanie istnienia rzeczywistych pierwiastków bez sprawdzenia warunków zadania.

Najczęstsze pytania