Delta, oznaczana \(\Delta\), to liczba obliczana ze współczynników równania kwadratowego. Jej znak określa liczbę rozwiązań rzeczywistych, a jej pierwiastek jest potrzebny do obliczenia tych rozwiązań.
Najpierw uporządkuj równanie
Wzór dotyczy równania \(ax^2+bx+c=0\) z \(a\neq0\). Współczynnik \(a\) stoi przy kwadracie, \(b\) przy samej literze, a \(c\) jest składnikiem bez litery. Znak należy do współczynnika. W \(2x^2-3x-2=0\) odczytujemy \(2,-3,-2\), a nie \(2,3,2\).
Dla \(3x^2+2=0\) brakuje wyrazu liniowego, więc \(a=3\), \(b=0\), \(c=2\). Przy samym \(x^2\) współczynnik wynosi \(1\), a przy \(-x^2\) wynosi \(-1\). Te niewidoczne jedynki trzeba uwzględnić w obliczeniach.
Jeśli po prawej stronie nie ma zera, najpierw przenieś wszystkie wyrazy za pomocą działań po obu stronach. Z \(x^2=6x-5\) otrzymujemy \(x^2-6x+5=0\). Dopiero stąd odczytujemy \(b=-6\) oraz \(c=5\).
Wzór i kolejność rachunków
Najpierw obliczamy kwadrat całego współczynnika \(b\), potem iloczyn \(4\cdot a\cdot c\), a na końcu odejmujemy ten iloczyn. Współczynniki ujemne zapisuj w nawiasach.
Dla \(x^2-6x+5=0\) mamy \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16\). Delta nie jest jeszcze rozwiązaniem \(x\). To wynik pomocniczy: wskazuje liczbę pierwiastków i wchodzi do kolejnego wzoru.
Nawias przy ujemnej liczbie jest istotny. Zapis \((-3)^2=9\) oznacza \((-3)\cdot(-3)\). Natomiast \(-3^2=-9\), ponieważ bez nawiasu potęgujemy najpierw \(3\), a minus pozostaje przed wynikiem.
Co oznacza znak delty
| Warunek | Rozwiązania rzeczywiste | Co robimy |
|---|---|---|
| \(\Delta\gt0\) | Dwie różne liczby | Liczymy dwa warianty wzoru |
| \(\Delta=0\) | Jedna liczba, pierwiastek podwójny | Obliczamy \(-\frac{b}{2a}\) |
| \(\Delta\lt0\) | Brak | Nie obliczamy rzeczywistego pierwiastka z delty |
W \(x^2+4x+4=0\) delta wynosi \(16-16=0\), a rozwiązaniem jest \(x=-2\). W \(x^2+x+1=0\) delta wynosi \(1-4=-3\), więc nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych. To różne sytuacje: zero delty nie oznacza zera rozwiązań.
Uzasadnienie związku z liczbą rozwiązań daje postać \((2ax+b)^2=\Delta\), równoważna równaniu kwadratowemu dla \(a\neq0\). Kwadrat może być dodatni albo zerowy, lecz nie ujemny. Gdy jest dodatni, wyrażenie w nawiasie może mieć dwa przeciwne znaki.
Obliczenie dwóch pierwiastków krok po kroku
Rozwiążmy \(2x^2-3x-2=0\). Użyjemy wzoru \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\). Symbol \(\pm\) oznacza dwa osobne rachunki. Cały licznik, czyli \(-b\) razem z dodawanym lub odejmowanym pierwiastkiem, dzielimy przez \(2a\).
- Odczytaj współczynniki i podstaw je z nawiasami.\(a=2,\quad b=-3,\quad c=-2,\quad \Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)\)
- Oblicz iloczyn i odejmowanie liczby ujemnej.\(\Delta=9-(-16)=25\)
- Przygotuj trzy części wzoru na pierwiastki.\(-b=3,\quad \sqrt{\Delta}=5,\quad 2a=4\)
- Oblicz wariant z minusem.\(x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12\)
- Oblicz wariant z plusem.\(x_2=\frac{3+5}{4}=2\)
- Sprawdź obie liczby.\(2\left(-\frac12\right)^2-3\left(-\frac12\right)-2=0,\quad 2\cdot2^2-3\cdot2-2=0\)
Pierwiastek podwójny i wynik z pierwiastkiem
Dla \(x^2-8x+16=0\) otrzymujemy \(\Delta=64-64=0\). Wzór daje \(x_0=-\frac{-8}{2\cdot1}=4\). Nie ma znaczenia, czy dodamy, czy odejmiemy zero: wynik będzie ten sam. Kontrola: \(16-32+16=0\).
Nie każda dodatnia delta jest kwadratem liczby całkowitej. Dla \(x^2-2x-1=0\) mamy \(\Delta=4+4=8\). Ponieważ \(\sqrt8=2\sqrt2\), rozwiązania to \(1-\sqrt2\) i \(1+\sqrt2\). Nie trzeba zaokrąglać ich do liczb dziesiętnych, jeśli polecenie tego nie wymaga.
Typowy błąd ze znakiem współczynnika
Zrób trzy oddzielne kontrole: prawidłowa postać równania, znaki przy podstawieniu oraz cały mianownik \(2a\). Na końcu odróżnij odpowiedź „delta wynosi” od odpowiedzi „rozwiązania równania to”.