Równania kwadratowe

Wyobraź sobie piłkę wyrzuconą w górę. Najpierw się wznosi, potem zatrzymuje na chwilę i opada. Jej tor przypomina parabolę, a momenty przecięcia z ziemią można opisać równaniem kwadratowym.

Co to jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe ma postać ax²+bx+c=0, gdzie a≠0. Liczby a, b i c są współczynnikami równania.

• a stoi przy x²,
• b stoi przy x,
• c jest wyrazem wolnym.

Dlaczego a nie może być równe zero?

Gdyby a=0, zniknąłby składnik x², a równanie przestałoby być kwadratowe i stałoby się liniowe.

Delta decyduje o liczbie rozwiązań

Obliczamy wyróżnik:

Δ=b²-4ac

• Jeżeli Δ>0, równanie ma dwa różne rozwiązania.
• Jeżeli Δ=0, równanie ma jedno rozwiązanie podwójne.
• Jeżeli Δ<0, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Wzory na pierwiastki

Dla Δ≥0:

• x₁=(-b-√Δ)/(2a)
• x₂=(-b+√Δ)/(2a)

Gdy Δ=0, oba wzory dają tę samą wartość x=-b/(2a).

Przykład podstawowy

Rozwiąż x²-5x+6=0.

• a=1, b=-5, c=6.
• Δ=(-5)²-4·1·6=25-24=1.
• x₁=(5-1)/2=2.
• x₂=(5+1)/2=3.

Przypadek z jednym rozwiązaniem

Rozwiąż x²-4x+4=0.

• Δ=(-4)²-4·1·4=16-16=0.
• x=4/2=2.

Przypadek bez rozwiązań rzeczywistych

Dla x²+x+1=0 mamy Δ=1-4=-3, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim A-B-C-DELTA-WYNIK: A odczytaj, B odczytaj, C odczytaj, DELTA oblicz, WYNIK wybierz według znaku delty. Wyobraź sobie pałac z trzema pokojami. W pierwszym gigantyczna litera A podnosi do góry kwadrat x², w drugim B ciągnie zwykłe x, a w trzecim C siedzi samotnie na podłodze. Na końcu korytarza stoi smok Delta. Gdy ma dodatni humor, wypuszcza dwoje bliźniąt; gdy jest spokojny i równy zero, wypuszcza jedną postać; gdy jest ujemny i wściekły, zamyka bramę z napisem „brak rozwiązań rzeczywistych”.

Przykład krok po kroku

Rozwiąż 2x²+3x-2=0.

• Krok 1: Odczytaj współczynniki: a=2, b=3, c=-2.
• Krok 2: Oblicz deltę: Δ=3²-4·2·(-2)=9+16=25.
• Krok 3: Ponieważ Δ>0, będą dwa rozwiązania.
• Krok 4: x₁=(-3-5)/4=-8/4=-2.
• Krok 5: x₂=(-3+5)/4=2/4=1/2.
• Krok 6: Sprawdź oba wyniki w równaniu wyjściowym.

Inne sposoby rozwiązywania

• Rozkład na czynniki, gdy równanie łatwo zapisać jako iloczyn.
• Wzory skróconego mnożenia, gdy występuje pełny kwadrat.
• Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.

Najczęstsze błędy

• Błędne odczytanie znaku współczynnika b lub c.
• Pominięcie nawiasu przy podnoszeniu liczby ujemnej do kwadratu.
• Zapisanie Δ=b²+4ac zamiast b²-4ac.
• Brak minusa przed b we wzorze na pierwiastki.
• Dzielenie tylko części licznika przez 2a.
• Wyznaczanie pierwiastków przy Δ<0 w zbiorze liczb rzeczywistych.

Najczęstsze pytania