Równanie kwadratowe po uporządkowaniu ma postać \(ax^2+bx+c=0\), gdzie \(a\neq0\). Szukamy wszystkich liczb rzeczywistych, które po podstawieniu za \(x\) dają prawdziwą równość. Metodę wybieramy na podstawie budowy równania.
Jak rozpoznać równanie kwadratowe
Kwadrat \(x^2\) oznacza iloczyn \(x\cdot x\), a nie \(2x\). W równaniu kwadratowym najwyższa potęga niewiadomej, która pozostaje po uproszczeniu, wynosi dwa. Liczby \(a\), \(b\) i \(c\) nazywamy współczynnikami. Odczytujemy je razem ze znakami: w \(2x^2-3x-2=0\) mamy \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\).
Zanim odczytasz współczynniki, sprowadź jedną stronę do zera. Na przykład \(x^2+1=5x-5\) po odjęciu całej prawej strony daje \(x^2-5x+6=0\). Brak składnika z \(x\) oznacza \(b=0\), a brak wyrazu wolnego \(c=0\).
Patrzymy na wynik uproszczenia, nie tylko na wygląd początkowy. W \(x^2+x=x^2+2\) kwadraty się redukują i pozostaje równanie liniowe \(x=2\). Jeśli współczynnik przy kwadracie wynosi zero, wzoru kwadratowego nie stosujemy.
Prosty kwadrat i przypadek bez wyrazu wolnego
Równanie \(x^2=9\) ma dwa rozwiązania: \(3\) i \(-3\), bo \(3^2=(-3)^2=9\). Dla \(x^2=0\) jedynym rozwiązaniem jest zero. Dla \(x^2=-9\) nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
W równaniu \(3x^2=27\) najpierw dzielimy obie strony przez \(3\), uzyskując \(x^2=9\), a dopiero potem zapisujemy oba rozwiązania. Symbol \(\sqrt9\) oznacza jedną liczbę \(3\); dwa rozwiązania równania zapisujemy za pomocą \(\pm\).
Jeśli każdy składnik zawiera \(x\), wyłączamy tę literę przed nawias. Z \(2x^2-8x=0\) otrzymujemy \(2x(x-4)=0\). Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. Stała \(2\) nie jest zerem, więc \(x=0\) lub \(x=4\). Dzielenie od razu przez \(x\) zgubiłoby pierwsze rozwiązanie.
Rozkład na dwa nawiasy
Dla \(x^2-5x+6\) szukamy liczb o sumie \(-5\) i iloczynie \(6\). Wynika to z mnożenia \((x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq\). Pasują \(-2\) i \(-3\), dlatego otrzymujemy nawiasy \(x-2\) i \(x-3\).
- Sprawdź znaleziony rozkład przez wymnożenie.\((x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6\)
- Zapisz równanie w postaci iloczynu równego zero.\((x-2)(x-3)=0\)
- Przyrównaj każdy czynnik do zera. Wystarczy spełnienie jednego z przypadków.\(x-2=0\quad\text{lub}\quad x-3=0\)
- Podaj obie liczby i sprawdź w uporządkowanym równaniu.\(x=2\ \text{lub}\ x=3,\quad 4-10+6=0,\quad9-15+6=0\)
Gdy równanie miało wcześniej inną postać, warto sprawdzić także ten pierwotny zapis. Dla \(x^2+1=5x-5\) liczba \(2\) daje po obu stronach \(5\), a liczba \(3\) po obu stronach \(10\).
Gdy rozkładu nie widać
Uniwersalną metodą jest obliczenie delty, czyli wyróżnika. Najpierw odczytujemy współczynniki równania sprowadzonego do zera. Delta mówi, ile rozwiązań rzeczywistych istnieje, i pozwala je obliczyć.
Dodatnia delta daje dwa różne rozwiązania. Dla delty równej zero oba znaki dają tę samą liczbę. Ujemna delta oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.
W \(x^2+x-1=0\) mamy \(\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-1)=5\), więc \(x=\frac{-1-\sqrt5}{2}\) lub \(x=\frac{-1+\sqrt5}{2}\). Pierwiastki nie muszą być liczbami całkowitymi. Taki dokładny zapis jest poprawną odpowiedzią.
Jeden pierwiastek i wybór metody
Równanie \((x-5)^2=0\) sprowadza się do \(x-5=0\), więc \(x=5\). Mówimy o jednym rozwiązaniu, zwanym pierwiastkiem podwójnym. Nie podajemy dwóch różnych liczb tylko dlatego, że równanie jest kwadratowe.
Przed obliczaniem delty sprawdź, czy masz już kwadrat, iloczyn albo wspólny czynnik. To może znacznie skrócić rachunek. Jeśli nie widzisz prostszego sposobu, delta pozostaje poprawnym wyborem. Nie próbuj zgadywać pierwiastków bez kontroli.
Typowy błąd i zapis odpowiedzi
Nawias klamrowy oznacza zbiór konkretnych rozwiązań, nie przedział między nimi. Równanie kwadratowe z niezerowym \(a\) ma najwyżej dwa różne rozwiązania rzeczywiste. Każde sprawdź, podstawiając je za wszystkie wystąpienia \(x\).