Nierówność z wartością bezwzględną mówi, jak daleko liczba lub wartość wyrażenia może leżeć od wskazanego punktu. Najpierw odczytujemy odległość i znak nierówności, a dopiero potem zapisujemy przedziały albo przekształcamy nierówność algebraicznie.
Wartość bezwzględna jako odległość
Wartość bezwzględna, czyli moduł, jest nieujemna. Zapis \(|-3|=3\) oznacza, że liczba \(-3\) leży trzy jednostki od zera. Tak samo \(|3|=3\). Odległość nie wskazuje kierunku, dlatego po obu stronach środka mogą znajdować się pasujące liczby.
Wyrażenie \(|x-a|\) oznacza odległość liczby \(x\) od liczby \(a\). W \(|x-2|\) środkiem jest \(2\), a w \(|x+2|=|x-(-2)|\) środkiem jest \(-2\). Nawet jeśli pojawia się plus, środek odczytujemy z postaci „\(x\) minus środek”.
Znaki \(\lt\) i \(\gt\) nie dopuszczają równości. Znaki \(\leq\) i \(\geq\) ją dopuszczają. Dla \(|x-2|\lt4\) szukamy odległości mniejszej niż cztery; dla \(|x-2|\geq4\) odległość może być równa cztery lub większa.
Między granicami czy na zewnątrz
Od środka \(2\) odmierzamy cztery jednostki w lewo i w prawo. Granice to \(2-4=-2\) oraz \(2+4=6\). Liczby pomiędzy nimi leżą bliżej środka niż cztery jednostki. Liczby poza nimi leżą dalej. Samych granic nie wybieramy automatycznie: decyduje znak zadania.
W pierwszym rysunku rozwiązaniem jest \((-2;6)\). Okrągłe nawiasy i puste kółka wykluczają granice. W drugim rozwiązaniem jest \((-\infty;-2]\cup[6;+\infty)\). Symbol \(\cup\) łączy dwa zbiory: liczba może należeć do lewego lub prawego przedziału. Zamalowane punkty włączają granice. Przy nieskończoności zawsze stosujemy nawias okrągły.
Reguły algebraiczne i znaczenie słów oraz i lub
\(u\) oznacza całe wyrażenie pod modułem. Dla znaków nieostrych zamieniamy odpowiednio \(\lt\) na \(\leq\) oraz \(\gt\) na \(\geq\).
Podwójny warunek \(-r\lt u\lt r\) oznacza, że obie nierówności mają być prawdziwe jednocześnie: \(u\) jest większe od lewej granicy oraz mniejsze od prawej. W wariancie zewnętrznym wystarczy jeden warunek, dlatego piszemy „lub”. Jedna liczba nie może być jednocześnie na lewo od lewej granicy i na prawo od prawej.
Regułę stosujemy do całego wnętrza modułu. Jeśli jest nim \(2x-1\), wstawiamy wszędzie \(2x-1\), a nie samo \(x\). Gdy przed modułem stoi współczynnik lub dodawana liczba, najpierw izolujemy moduł zwykłymi działaniami po obu stronach.
Przykład z wyrażeniem pod modułem
Rozwiążmy \(|2x-1|\leq5\). Odległość wartości \(2x-1\) od zera ma być najwyżej równa pięć. Wybieramy więc wariant pomiędzy granicami, razem z końcami.
- Zastąp moduł dwoma warunkami spełnianymi jednocześnie.\(-5\leq2x-1\leq5\)
- Dodaj \(1\) do wszystkich trzech części.\(-4\leq2x\leq6\)
- Podziel wszystkie części przez dodatnie \(2\). Kierunki znaków zostają takie same.\(-2\leq x\leq3\)
- Zapisz przedział i sprawdź obie granice w zadaniu początkowym.\(x\in[-2;3],\quad |2(-2)-1|=5,\quad |2\cdot3-1|=5\)
Dla \(x=0\) otrzymujemy \(|-1|=1\leq5\), więc liczba wewnątrz przedziału pasuje. Dla \(x=4\) otrzymujemy \(7\leq5\), czyli fałsz. Są to kontrole pomocnicze; całe rozwiązanie uzasadniają równoważne przekształcenia.
Zero i ujemna prawa strona
Przed rozpisaniem przedziałów sprawdź prawą stronę izolowanego modułu. Dla \(|u|\lt0\) nie ma rozwiązań, a \(|u|\leq0\) wymaga \(u=0\). Warunek \(|u|\gt0\) oznacza \(u\neq0\), natomiast \(|u|\geq0\) spełnia każda wartość, dla której wyrażenie \(u\) jest określone.
Jeśli prawa strona jest ujemna, np. \(|x|\lt-1\), rozwiązaniem jest \(\varnothing\), czyli zbiór pusty. Nierówność \(|x|\gt-1\) spełnia każde rzeczywiste \(x\). Dla bardziej złożonego wnętrza nadal obowiązuje jego dziedzina: „każde” oznacza każde dopuszczalne \(x\), nie liczby wykluczone przez mianownik lub pierwiastek.
Typowy błąd i końcowa kontrola
Sprawdź osobno środek, granice i wybraną liczbę na zewnątrz. Upewnij się, że zapis przedziałów odpowiada słowom „mniej” lub „więcej” oraz że równość jest dozwolona tylko przy znaku nieostrym.