Nierówności z wartością bezwzględną

Wyobraź sobie alarm wokół sejfu ustawionego w punkcie 3. Jeśli czujnik reaguje na odległość mniejszą niż 2, interesuje cię strefa między 1 a 5. Jeśli reaguje na odległość większą niż 2, interesują cię dwa obszary: na lewo od 1 i na prawo od 5.

Wartość bezwzględna jako odległość

Wyrażenie |x-a| oznacza odległość liczby x od punktu a na osi liczbowej.

• |x-a|<r oznacza: odległość od a jest mniejsza niż r.
• |x-a|>r oznacza: odległość od a jest większa niż r.

Dwa podstawowe schematy

Dla r>0:

• |x-a|<r jest równoważne a-r<x<a+r.
• |x-a|≤r jest równoważne a-r≤x≤a+r.
• |x-a|>r jest równoważne x<a-r lub x>a+r.
• |x-a|≥r jest równoważne x≤a-r lub x≥a+r.

Zapamiętaj: środek albo zewnętrze

Znaki < oraz ≤ prowadzą do jednego przedziału między dwiema granicami. Znaki > oraz ≥ prowadzą do dwóch przedziałów po zewnętrznych stronach granic.

Przykład typu „w środku”

Rozwiąż |x-4|<3.

• Odległość x od 4 ma być mniejsza niż 3.
• 4-3<x<4+3.
• 1<x<7.
• Zapis przedziałowy: (1,7).

Przykład typu „na zewnątrz”

Rozwiąż |x+2|≥5.

• Zapisz |x-(-2)|≥5.
• x≤-2-5 lub x≥-2+5.
• x≤-7 lub x≥3.
• Zapis: (-∞,-7]∪[3,∞).

Gdy przed modułem stoi współczynnik

Rozwiąż 2|x-1|≤8.

• Podziel przez 2: |x-1|≤4.
• -4≤x-1≤4.
• Dodaj 1 do wszystkich części: -3≤x≤5.

Szczególne przypadki

• |wyrażenie|<0 nie ma rozwiązań.
• |wyrażenie|≤0 oznacza, że wyrażenie pod modułem musi być równe 0.
• |wyrażenie|>0 jest prawdziwe dla wszystkich liczb poza tymi, dla których wyrażenie pod modułem jest równe 0.
• |wyrażenie|≥0 jest prawdziwe dla każdej liczby z dziedziny.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim B-L-I-S-K-O: Badaj prawą stronę, Licz granice, Interwał wybierz, Sprawdź znak, Końce zaznacz, Odpowiedź zapisz. Wyobraź sobie zamek z dwoma bramami. Gdy widzisz znak mniejszości, obie bramy zatrzaskują się i trzymają liczby blisko środka. Gdy widzisz znak większości, gigantyczna sprężyna wyrzuca liczby na dwa końce korytarza — daleko w lewo i daleko w prawo. Znaki z kreską, czyli ≤ i ≥, mają ciężkie metalowe drzwi włączające punkty graniczne; znaki bez kreski zostawiają granice otwarte.

Przykład krok po kroku

Rozwiąż 3|2x+1|-6>9.

• Krok 1: Dodaj 6: 3|2x+1|>15.
• Krok 2: Podziel przez 3: |2x+1|>5.
• Krok 3: Rozpisz przypadek zewnętrzny: 2x+1<-5 lub 2x+1>5.
• Krok 4: Pierwszy przypadek: 2x<-6, więc x<-3.
• Krok 5: Drugi przypadek: 2x>4, więc x>2.
• Krok 6: Zapisz (-∞,-3)∪(2,∞).

Sprawdzanie na osi liczbowej

Zaznacz punkty graniczne i wybierz liczbę testową z każdego powstałego obszaru. Podstawienie szybko pokaże, które przedziały spełniają nierówność.

Najczęstsze błędy

• Użycie słowa „i” zamiast „lub” w nierównościach typu > lub ≥.
• Użycie dwóch przedziałów zamiast jednego przy znaku < lub ≤.
• Nieodizolowanie wartości bezwzględnej przed zastosowaniem schematu.
• Błędne zaznaczenie końców przedziału.
• Pominięcie szczególnych przypadków, gdy prawa strona jest równa zero lub ujemna.
• Brak nawiasów przy zapisie sumy przedziałów.

Najczęstsze pytania