Równania z wartością bezwzględną

Wyobraź sobie, że stoisz przy liczbie 0 na prostej drodze. Punkt 5 jest oddalony od ciebie o 5 kroków, ale punkt -5 także jest oddalony o 5 kroków. Wartość bezwzględna opisuje właśnie odległość, dlatego nigdy nie jest ujemna.

Co oznacza wartość bezwzględna?

Dla liczby x wartość |x| oznacza jej odległość od zera na osi liczbowej.

• |5| = 5
• |-5| = 5
• |0| = 0

Podstawowy model równania

Równanie |x| = a opisuje liczby oddalone od zera o a jednostek.

• Jeżeli a > 0, są dwa rozwiązania: x = a lub x = -a.
• Jeżeli a = 0, jest jedno rozwiązanie: x = 0.
• Jeżeli a < 0, równanie nie ma rozwiązań, ponieważ odległość nie może być ujemna.

Przykład prosty

Rozwiąż |x| = 7.

• x = 7 lub x = -7.
• Zbiór rozwiązań: {-7, 7}.

Równanie w postaci |x - p| = r

Wyrażenie |x - p| oznacza odległość liczby x od punktu p. Jeżeli |x - p| = r, szukamy punktów położonych r jednostek od p.

• x - p = r lub x - p = -r,
• czyli x = p + r lub x = p - r.

Przykład: |x - 3| = 5. Punkty oddalone o 5 od liczby 3 to 8 i -2.

Równanie po wcześniejszym uproszczeniu

Rozwiąż 2|x + 1| = 8.

• Podziel obie strony przez 2: |x + 1| = 4.
• x + 1 = 4 lub x + 1 = -4.
• x = 3 lub x = -5.

Równanie bez rozwiązań

Równanie |2x - 1| = -3 nie ma rozwiązań, ponieważ lewa strona jest zawsze nieujemna, a prawa jest ujemna.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim S-P-R-A-W-DŹ: Sprawdź prawą stronę, Podziel współczynnik przed modułem, Rozpisz dwa przypadki, Algebraicznie rozwiąż, Wstaw wyniki, Dopisz zbiór, Źle wyglądające odpowiedzi odrzuć. Wyobraź sobie pałac z ogromnym lustrem na środku. Gdy wrzucasz do niego liczbę dodatnią, z lustra wyskakuje jej ujemny bliźniak. Jeśli po prawej stronie stoi liczba ujemna, czerwony robot natychmiast zamyka drzwi z napisem „brak rozwiązań”. Ta scena przypomina, że dodatnia odległość daje dwa symetryczne wyniki, zero jeden, a liczba ujemna żadnego.

Przykład krok po kroku

Rozwiąż 3|2x - 4| - 6 = 12.

• Krok 1: Dodaj 6: 3|2x - 4| = 18.
• Krok 2: Podziel przez 3: |2x - 4| = 6.
• Krok 3: Rozpisz dwa przypadki: 2x - 4 = 6 lub 2x - 4 = -6.
• Krok 4: Pierwszy przypadek: 2x = 10, więc x = 5.
• Krok 5: Drugi przypadek: 2x = -2, więc x = -1.
• Krok 6: Sprawdzenie potwierdza oba wyniki.

Interpretacja geometryczna

Równanie |x - 2| = 4 oznacza: znajdź liczby oddalone od 2 o cztery jednostki. Na osi zaznacz punkt 2, następnie wykonaj cztery kroki w prawo i cztery w lewo. Otrzymasz 6 i -2.

Najczęstsze błędy

• Podanie tylko jednego rozwiązania zamiast dwóch.
• Rozpisanie dwóch przypadków przed odizolowaniem wartości bezwzględnej.
• Próba rozwiązania równania |wyrażenie| = liczba ujemna.
• Pominięcie znaku minus w drugim przypadku.
• Błędne rozumienie |x - p| jako |x| - p.
• Brak sprawdzenia rozwiązań w równaniu wyjściowym.

Najczęstsze pytania