Równanie z wartością bezwzględną rozwiązujemy, korzystając z tego, że moduł oznacza nieujemną odległość. W podstawowym równaniu \(|ax+b|=r\) najpierw izolujemy moduł i sprawdzamy znak \(r\), a następnie rozpatrujemy odpowiednie przypadki.
Co oznaczają dwie pionowe kreski?
Zapis \(|u|\) nazywamy wartością bezwzględną lub modułem liczby \(u\). Mówi, jak daleko ta liczba leży od zera na osi. Odległość nie jest ujemna: \(|5|=5\), \(|-5|=5\), \(|0|=0\). Nie zamieniamy zawsze znaku na przeciwny; dodatnia liczba pozostaje dodatnia.
Jeżeli wewnątrz kresek jest działanie, najpierw wykonujemy je w całości. Dla \(x=1\) mamy \(|x-4|=|1-4|=|-3|=3\). Nie wolno oddzielnie usuwać kresek z każdego składnika: na ogół \(|x-4|\) nie jest równe \(|x|-4\).
Wyrażenie \(|x-a|\) to odległość liczby \(x\) od liczby \(a\). Dlatego \(|x-2|=3\) oznacza „znajdź wszystkie liczby oddalone od dwóch o trzy jednostki”. Możemy przesunąć się o tę odległość w lewo albo w prawo.
Na osi otrzymujemy \(x=2-3=-1\) oraz \(x=2+3=5\). Te dwa punkty leżą po przeciwnych stronach liczby \(2\). Zapis \(|x+2|\) mierzy natomiast odległość od \(-2\), ponieważ \(x+2=x-(-2)\).
Dlaczego powstają dwa przypadki?
Jeśli odległość liczby od zera wynosi \(r\gt0\), liczba może wynosić \(r\) albo \(-r\). W miejsce tej liczby można wstawić całe wyrażenie pod modułem, na przykład \(2x-3\). Obu możliwości szukamy osobno.
\(u\) oznacza całe wyrażenie pod modułem. „Lub” znaczy, że wystarczy spełnić jeden z dwóch przypadków. Zbieramy rozwiązania z obu.
Dla \(|u|=0\) potrzebujemy tylko \(u=0\), bo jedyną liczbą oddaloną od zera o zero jest zero. Dla \(|u|=r\) z \(r\lt0\) nie ma rozwiązań: odległość nie może być ujemna. Te dwie sytuacje sprawdzamy, zanim zaczniemy rozpisywać przypadki.
Dla równania \(|ax+b|=r\) ze współczynnikiem \(a\neq0\) dodatnie \(r\) daje dokładnie dwa rozwiązania, a \(r=0\) jedno. Nie jest to zasada dla każdego wnętrza modułu. Na przykład \(|x^2|=0\) ma jedno rozwiązanie, ale \(|x^2-1|=0\) ma dwa. O ich liczbie decyduje również równanie wewnątrz kresek.
Pełny przykład z wyrażeniem liniowym
Rozwiążmy \(|2x-3|=5\). Moduł jest już sam po lewej stronie, a po prawej mamy dodatnią liczbę. Wnętrze \(2x-3\) może więc wynosić \(5\) albo \(-5\). Nie zmieniamy od razu znaków poszczególnych składników: zapisujemy dwie możliwe wartości całego wnętrza.
- Rozpisz oba przypadki.\(2x-3=5\quad\text{lub}\quad2x-3=-5\)
- W pierwszym przypadku dodaj \(3\) do obu stron, a następnie podziel przez \(2\).\(2x=8,\quad x=4\)
- W drugim przypadku także dodaj \(3\) i podziel przez \(2\).\(2x=-2,\quad x=-1\)
- Sprawdź pierwszą liczbę w równaniu początkowym.\(|2\cdot4-3|=|5|=5\)
- Sprawdź drugą liczbę i podaj obie odpowiedzi.\(|2\cdot(-1)-3|=|-5|=5,\quad x\in\{-1,4\}\)
Nawiasy klamrowe w odpowiedzi oznaczają zbiór dwóch konkretnych liczb. Nie jest to cały przedział między nimi. Na przykład leżące pomiędzy nimi \(x=0\) nie spełnia równania, ponieważ \(|2\cdot0-3|=3\), a nie \(5\).
Gdy moduł nie stoi sam: najpierw go odizoluj
W równaniu \(2|x-1|+3=11\) najpierw odejmujemy \(3\) od obu stron: \(2|x-1|=8\). Potem dzielimy przez \(2\): \(|x-1|=4\). Dopiero teraz otrzymujemy \(x-1=4\) lub \(x-1=-4\), więc \(x=5\) lub \(x=-3\).
Dla \(|x-1|+3=1\) odjęcie \(3\) daje \(|x-1|=-2\). W tym miejscu kończymy: brak rozwiązań. Rozpisanie przypadków z wartościami \(2\) i \(-2\) byłoby błędem, ponieważ prawa strona izolowanego modułu jest ujemna.
W równaniu \(|5-x|=0\) wnętrze musi być zerowe, więc \(5-x=0\) i \(x=5\). Znak minus przed \(x\) nie tworzy drugiej odpowiedzi. Zero i jego przeciwieństwo to ta sama liczba.
Prawej strony z literą nie traktuj jak dodatniej stałej
Jeśli po prawej stronie jest wyrażenie z \(x\), jego nieujemność trzeba sprawdzić. Przykładowo \(|x-1|=x+1\) wymaga \(x+1\geq0\), czyli \(x\geq-1\). Rozpisujemy \(x-1=x+1\) lub \(x-1=-(x+1)\), a znalezione wyniki sprawdzamy w równaniu początkowym.
Pierwszy przypadek po odjęciu \(x\) daje fałsz \(-1=1\). W drugim mamy \(x-1=-x-1\), więc \(2x=0\) i \(x=0\). Ta liczba spełnia warunek i kontrolę \(|0-1|=0+1=1\). To jedyne rozwiązanie, mimo że po drodze rozpisaliśmy dwa przypadki.
Podobnie gdy współczynnik przy \(x\) wewnątrz modułu wynosi zero, trzeba ocenić samo zdanie liczbowe. Równanie \(|0x+2|=2\) jest prawdziwe dla każdego rzeczywistego \(x\), a \(|0x+2|=3\) nie jest prawdziwe dla żadnego.
Typowy błąd: pominięcie ujemnej wartości wnętrza
Kontroluj każdą znalezioną liczbę osobno: podstaw ją do pierwotnego wnętrza, oblicz moduł i porównaj strony. W odpowiedzi podaj wszystkie rozwiązania, które przeszły sprawdzenie, bez wypełniania liczbami przestrzeni między nimi.