Nierówności liniowe

Wyobraź sobie linię drogową z bramką ustawioną przy liczbie 3. Samochody z liczbami większymi od 3 mogą jechać dalej, a pozostałe muszą zawrócić. Nierówność opisuje właśnie taki zbiór wielu liczb, a nie pojedynczy punkt.

Co to jest nierówność liniowa?

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą zawiera wyrażenia pierwszego stopnia i jeden ze znaków: <, >, ≤ lub ≥.

Jej rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb, które po podstawieniu dają prawdziwe zdanie.

Podstawowe zasady

• Możemy dodać lub odjąć tę samą liczbę po obu stronach bez zmiany znaku nierówności.
• Możemy pomnożyć lub podzielić obie strony przez liczbę dodatnią bez zmiany znaku.
• Przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną znak nierówności trzeba odwrócić.

Dlaczego odwracamy znak?

Na osi liczbowej -5 jest mniejsze od -2. Po pomnożeniu obu liczb przez -1 otrzymujemy 5 i 2, a wtedy 5 jest większe od 2. Mnożenie przez liczbę ujemną odbija liczby na drugą stronę zera i odwraca ich kolejność.

Prosty przykład

Rozwiąż 3x + 2 < 11.

• Odejmij 2: 3x < 9.
• Podziel przez 3: x < 3.
• Na osi liczbowej zaznacz kółko otwarte przy 3 i kierunek w lewo.

Przykład z liczbą ujemną

Rozwiąż -2x ≥ 8.

• Podziel obie strony przez -2.
• Odwróć znak ≥ na ≤.
• Otrzymujemy x ≤ -4.

Nierówność z niewiadomą po obu stronach

Rozwiąż 5x - 3 > 2x + 6.

• Odejmij 2x: 3x - 3 > 6.
• Dodaj 3: 3x > 9.
• Podziel przez 3: x > 3.

Nierówność z nawiasem

Rozwiąż 2(x - 1) ≤ 8.

• Usuń nawias: 2x - 2 ≤ 8.
• Dodaj 2: 2x ≤ 10.
• Podziel przez 2: x ≤ 5.

Zapis rozwiązania

• x < 3 zapisujemy jako przedział (-∞, 3).
• x ≤ 3 zapisujemy jako (-∞, 3].
• x > 3 zapisujemy jako (3, ∞).
• x ≥ 3 zapisujemy jako [3, ∞).

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim N-I-E-R: Nawiasy usuń, Iksy zbierz, Elementy liczbowe przenieś, Rozważ znak dzielnika. Wyobraź sobie cztery pokoje. W pierwszym młot rozbija nawiasy. W drugim wielki magnes zbiera wszystkie litery x. W trzecim cyfry skaczą przez płot na drugą stronę. W czwartym stoi czerwony smok z minusem na czole: gdy dzielisz przez liczbę ujemną, smok łapie znak nierówności i obraca go o 180 stopni. Jeśli liczba jest dodatnia, smok śpi i znak zostaje bez zmian.

Przykład krok po kroku

Rozwiąż 4 - 3(2x - 1) > 10.

• Krok 1: Usuń nawias: 4 - 6x + 3 > 10.
• Krok 2: Zredukuj liczby: 7 - 6x > 10.
• Krok 3: Odejmij 7: -6x > 3.
• Krok 4: Podziel przez -6 i odwróć znak: x < -1/2.
• Krok 5: Zapis przedziałowy: (-∞, -1/2).

Sprawdzanie rozwiązania

Wybierz jedną liczbę z otrzymanego przedziału i jedną spoza niego. Podstawienie powinno dać odpowiednio zdanie prawdziwe i fałszywe.

Najczęstsze błędy

• Brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
• Odwracanie znaku przy dodawaniu lub odejmowaniu liczby ujemnej — tego nie robimy.
• Niepoprawne zaznaczenie końca przedziału: kółko otwarte dla < i >, zamknięte dla ≤ i ≥.
• Niepomnożenie wszystkich składników w nawiasie.
• Podanie jednej liczby zamiast całego zbioru rozwiązań.
• Błędny zapis przedziału z nieskończonością — przy ∞ zawsze stosujemy nawias okrągły.

Najczęstsze pytania