Nierówność liniowa wskazuje wszystkie liczby spełniające warunek „mniejsze”, „większe”, „nie większe” lub „nie mniejsze”. Rozwiązujemy ją działaniami po obu stronach, przy czym mnożenie albo dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.
Jak czytać znaki i rozumieć zbiór rozwiązań?
Zapis \(x\lt3\) oznacza „\(x\) jest mniejsze od trzech”. Spełniają go na przykład \(2\), \(0\) i \(-5\), ale nie samo \(3\). Zapis \(x\leq3\) dopuszcza także \(3\). Odpowiednio \(x\gt3\) oznacza liczby większe od trzech, a \(x\geq3\) również samą trójkę.
Nierówności zwykle mają wiele rozwiązań, często nieskończenie wiele. Dlatego nie wystarczy podać jednej pasującej liczby. Trzeba opisać cały zbiór. Na osi liczbowej wartości rosną w prawo, a maleją w lewo. Przy znaku „mniejsze” zaznaczamy więc część po lewej stronie granicy, a przy „większe” po prawej.
Puste kółko oznacza, że punkt graniczny nie należy do rozwiązania. Zamalowane kółko oznacza, że należy. Ta różnica odpowiada obecności lub brakowi kreski w znakach \(\leq\) i \(\geq\).
Przedział \((- \infty;3)\) opisuje \(x\lt3\), a \([3;+\infty)\) opisuje \(x\geq3\). Nawias okrągły przy liczbie wyklucza tę liczbę, a kwadratowy ją włącza. Przy nieskończoności zawsze stawiamy nawias okrągły: nieskończoność nie jest liczbą, którą dałoby się dołączyć jako koniec przedziału.
Jakie działania zachowują nierówność?
Do obu stron wolno dodać tę samą liczbę lub od obu stron odjąć tę samą liczbę. Znak się wtedy nie zmienia. Można też pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę dodatnią, pozostawiając znak. Nie wolno dzielić przez zero.
Przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną odwracamy kierunek. Widać to na liczbach: \(2\lt5\), ale \(-2\gt-5\). Pomnożenie przez \(-1\) odbija liczby względem zera i zamienia ich kolejność na osi. Tak samo działa każdy ujemny mnożnik.
Przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną znaki \(\lt\) i \(\gt\) zamieniają się miejscami, podobnie \(\leq\) i \(\geq\).
Samo wystąpienie minusa w zadaniu nie wymaga odwracania znaku. Odjęcie \(4\) od obu stron jest dodawaniem liczby \(-4\), a nie mnożeniem przez nią. Przy tej operacji kierunek pozostaje ten sam.
Przykład z dzieleniem przez liczbę ujemną
Rozwiążmy \(-3x+4\leq10\). Chcemy zostawić \(x\) po jednej stronie. Najpierw usuniemy dodawane \(4\), a następnie współczynnik \(-3\). Każdy krok wykonujemy po obu stronach nierówności.
- Odejmij \(4\) od obu stron. Znak się nie zmienia.\(-3x\leq10-4,\quad -3x\leq6\)
- Podziel obie strony przez \(-3\), odwracając znak.\(x\geq\frac6{-3},\quad x\geq-2\)
- Zapisz wszystkie rozwiązania jako przedział. Granica jest włączona.\([-2;+\infty)\)
- Sprawdź punkt graniczny w nierówności początkowej.\(-3\cdot(-2)+4=10,\quad 10\leq10\)
Dodatkowo sprawdź liczbę po właściwej stronie, na przykład \(x=0\): dostajemy \(4\leq10\), czyli prawdę. Po drugiej stronie, dla \(x=-3\), otrzymujemy \(13\leq10\), czyli fałsz. Te podstawienia pomagają wykryć błędnie wybrany kierunek. Uzasadnieniem całego zbioru pozostaje ciąg równoważnych przekształceń.
Nawiasy i litera po obu stronach
W nierówności \(2(x-1)\geq x+4\) najpierw mnożymy oba składniki nawiasu przez \(2\), otrzymując \(2x-2\geq x+4\). Odejmujemy \(x\) od obu stron: \(x-2\geq4\). Dodajemy \(2\): \(x\geq6\). Nie odwróciliśmy znaku, ponieważ nie mnożyliśmy ani nie dzieliliśmy przez liczbę ujemną.
Przy ułamkach możemy pomnożyć obie strony przez wspólny dodatni mianownik. Na przykład \(\frac{x-1}{2}\lt3\) po pomnożeniu przez \(2\) daje \(x-1\lt6\), a po dodaniu \(1\): \(x\lt7\). Jeżeli mnożnik zawiera zmienną i nie znamy jego znaku, nie wolno bez dodatkowej analizy zakładać, że kierunek się zachowa.
Podwójny warunek i sytuacje bez litery
Zapis \(-1\leq2x+3\lt7\) oznacza dwa warunki jednocześnie. Od wszystkich trzech części odejmujemy \(3\), otrzymując \(-4\leq2x\lt4\). Dzielimy wszystkie trzy części przez dodatnie \(2\): \(-2\leq x\lt2\). Wynik to \([-2;2)\): lewy koniec wchodzi, prawy nie.
Czasem litera znika. Nierówność \(2x+1\lt2x+5\) po odjęciu \(2x\) daje \(1\lt5\). To prawda niezależnie od \(x\), więc rozwiązaniem jest \(\mathbb{R}\). Natomiast \(2x+1\gt2x+5\) daje fałsz \(1\gt5\), więc nie ma rozwiązań. Pusty zbiór oznaczamy \(\varnothing\).
Nie dzielimy w takim przypadku przez współczynnik \(0\). Oceniając zdanie liczbowe, uwzględnij również równość: \(0\leq0\) jest prawdziwe, ale \(0\lt0\) jest fałszywe.
Typowy błąd: pozostawienie znaku po dzieleniu przez minus
Przed zapisaniem przedziału sprawdź jeszcze, czy granica należy do odpowiedzi. Znaki ostre \(\lt,\gt\) dają puste kółko, a \(\leq,\geq\) zamalowane. Sam poprawny rachunek nie wystarczy, jeśli na końcu zgubisz tę różnicę w zapisie zbioru.