Równanie liniowe pozwala znaleźć nieznaną liczbę, którą mnożymy przez znane liczby, dodajemy lub odejmujemy. Prostym przykładem jest \(x+5=9\): szukamy liczby, która po dodaniu pięciu daje dziewięć. Zaczniemy od znaczenia tego zapisu, a następnie przejdziemy do nawiasów, ułamków i przypadków, w których niewiadoma znika.
1. Co oznacza równanie i jego rozwiązanie?
W zapisie \(x+5=9\) litera \(x\) oznacza szukaną liczbę, czyli niewiadomą. Znak równości mówi, że wyrażenie po lewej ma mieć tę samą wartość co wyrażenie po prawej. Pytamy więc: do jakiej liczby trzeba dodać pięć, aby otrzymać dziewięć?
Liczba cztery pasuje, bo \(4+5=9\). Mówimy, że \(x=4\) jest rozwiązaniem. Liczba trzy nie pasuje: \(3+5=8\), a osiem nie jest równe dziewięciu. Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie pasujące liczby, a nie tylko podać dowolny przykład.
Przypomnijmy zapis: \(3x\) oznacza \(3\cdot x\), czyli trzy razy szukana liczba. Natomiast \(x+3\) oznacza powiększenie jej o trzy. Dla \(x=4\) otrzymujemy odpowiednio \(3\cdot4=12\) i \(4+3=7\). To różne działania.
W równaniu liniowym niewiadoma po uproszczeniu występuje w pierwszej potędze. Na przykład \(2x+3=11\) jest równaniem liniowym. Równanie \(x^2=9\) wymaga innej metody, bo zawiera kwadrat niewiadomej. Tutaj pracujemy na liczbach rzeczywistych: rozwiązaniem może być również zero, liczba ujemna lub ułamek.
2. Jak zmieniać równanie, aby zachować rozwiązania?
Wyobraź sobie dwie strony jako szalki wagi pozostające w równowadze. Jeśli z obu szalek zdejmiesz taki sam ciężar, równowaga zostanie zachowana. W równaniu oznacza to wykonanie tego samego dozwolonego działania po obu stronach.
- Możesz dodać do obu stron lub odjąć od obu stron tę samą liczbę albo to samo wyrażenie określone dla rozważanych wartości niewiadomej.
- Możesz pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą niezerową liczbę.
- Możesz zastąpić wyrażenie równym mu wyrażeniem, na przykład rozwinąć nawias lub połączyć podobne składniki.
Takie przekształcenia są równoważne: przed nimi i po nich pasują dokładnie te same wartości niewiadomej. Nie dzielimy przez zero. Nie mnożymy obu stron przez zero podczas rozwiązywania, bo z każdego równania powstałoby \(0=0\) i stracilibyśmy informację o szukanej liczbie. Nie dzielimy też automatycznie przez \(x\), ponieważ nie wiemy jeszcze, czy nie jest zerem.
Pierwszy przykład: \(3x+5=17\)
Chcemy zostawić samo \(x\). Najpierw usuniemy dodaną piątkę, a potem mnożenie przez trzy. Użyjemy działań odwrotnych: odejmowania i dzielenia.
- Odejmij pięć od obu stron. Po lewej plus pięć i minus pięć dadzą zero.\(3x+5-5=17-5\)
- Wykonaj odejmowanie. Trzy razy szukana liczba daje dwanaście.\(3x=12\)
- Podziel obie strony przez trzy. Po lewej mnożenie przez trzy i dzielenie przez trzy się znoszą.\(\frac{3x}{3}=\frac{12}{3},\qquad x=4\)
- Sprawdź w pierwotnym równaniu: wstaw cztery w miejsce każdej litery x. Obie strony mają tę samą wartość.\(3\cdot4+5=12+5=17\)
Popularne polecenie „przenieś piątkę na prawą stronę i zmień znak” jest skrótem pierwszych dwóch kroków: \(3x=17-5\). Liczba nie przeskakuje sama — odejmujemy ją po obu stronach. Dopóki skrót sprawia trudność, zapisuj pełną operację.
3. Nawiasy i niewiadome po obu stronach
Rozwiążmy \(3(x-2)=2x+5\). Przed rozpoczęciem przypomnijmy mnożenie przez nawias: mnożymy każdy składnik w nawiasie. Dlatego \(3(x-2)=3x-6\), a nie \(3x-2\).
Krok pierwszy — usuń nawias: otrzymujemy \(3x-6=2x+5\). Teraz niewiadoma występuje po obu stronach. Wygodnie zostawić ją po lewej, więc odejmujemy \(2x\) od obu stron: \(3x-6-2x=2x+5-2x\). Po prawej wyrażenia \(2x\) i \(-2x\) się znoszą. Po lewej \(3x-2x=x\), ponieważ trzy jednakowe porcje pomniejszone o dwie dają jedną porcję. Zostaje \(x-6=5\).
Krok drugi — usuń minus sześć: dodajemy sześć po obu stronach: \(x-6+6=5+6\). Dostajemy \(x=11\).
Krok trzeci — sprawdź: lewa strona początkowego równania ma wartość \(3(11-2)=3\cdot9=27\). Prawa strona ma wartość \(2\cdot11+5=22+5=27\). Zgodność potwierdza wynik.
Możesz wybrać inną kolejność, na przykład najpierw odjąć \(3x\). Wynik będzie taki sam, ale pojawi się więcej liczb ujemnych. Wybieramy kolejność, która upraszcza rachunek.
Co zrobić z ujemnym współczynnikiem?
W równaniu \(4-2x=10\) odejmujemy cztery: \(-2x=6\). Następnie dzielimy obie strony przez minus dwa: \(x=\frac6{-2}=-3\). Sprawdzamy: \(4-2\cdot(-3)=4+6=10\). Minus przed \(2x\) jest częścią współczynnika i nie może zniknąć podczas dzielenia.
4. Równania z ułamkami i zadanie tekstowe
Jak pozbyć się mianowników?
Rozwiążmy \(\frac{x-1}{3}+\frac{x}{2}=3\). Kreska ułamkowa obejmuje cały licznik: w pierwszym ułamku dzielimy przez trzy całe \(x-1\). Mianowniki są stałymi niezerowymi liczbami, więc nie wprowadzają ograniczeń dla \(x\).
Wspólną wielokrotnością trzech i dwóch jest sześć. Mnożymy przez sześć każdy składnik po obu stronach:
\[6\cdot\frac{x-1}{3}+6\cdot\frac{x}{2}=6\cdot3.\]
Ponieważ \(6:3=2\) oraz \(6:2=3\), otrzymujemy \(2(x-1)+3x=18\). Rozwijamy nawias: \(2x-2+3x=18\). Łączymy składniki z niewiadomą: \(5x-2=18\). Dodajemy dwa po obu stronach, więc \(5x=20\). Dzielimy przez pięć i dostajemy \(x=4\).
Sprawdzenie w równaniu z ułamkami: \(\frac{4-1}{3}+\frac42=\frac33+2=1+2=3\). To zgadza się z prawą stroną. Jeśli niewiadoma występuje w mianowniku, trzeba najpierw ustalić, kiedy mianownik jest niezerowy; takie równania są omawiane osobno.
Jak ułożyć równanie z treści?
Trzy jednakowe zeszyty i długopis za pięć złotych kosztują razem dwadzieścia trzy złote. Ile kosztuje zeszyt? Przyjmujemy, że \(x\) jest ceną jednego zeszytu w złotych. Trzy zeszyty kosztują \(3x\), a po doliczeniu długopisu mamy \(3x+5\). Stąd równanie \(3x+5=23\).
Odejmujemy pięć: \(3x=18\). Dzielimy przez trzy: \(x=6\). Odpowiedź: zeszyt kosztuje sześć złotych. Sprawdzamy rachunek \(3\cdot6+5=23\) oraz sens wyniku: cena jest dodatnia. W zadaniu tekstowym samo znalezienie liczby nie zastępuje odpowiedzi na pytanie.
5. Dlaczego czasem nie ma jednego rozwiązania?
Nie każde równanie, w którym widzisz wyrażenia liniowe, ma jedno rozwiązanie. Składniki z \(x\) mogą się całkowicie zredukować. Wtedy trzeba przeczytać to, co zostało, zamiast próbować dalej „wyliczać x”.
Każda liczba pasuje
W równaniu \(2(x+1)=2x+2\) po rozwinięciu nawiasu mamy \(2x+2=2x+2\). Odejmujemy \(2x\), a potem dwa i otrzymujemy \(0=0\). To zdanie prawdziwe niezależnie od wybranej liczby. Równanie jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań: wszystkie liczby rzeczywiste. Nie oznacza to, że jedynym rozwiązaniem jest zero.
Żadna liczba nie pasuje
W równaniu \(2(x+1)=2x+5\) rozwijamy nawias i odejmujemy \(2x\): otrzymujemy \(2=5\). To fałsz, którego żaden wybór \(x\) nie naprawi. Równanie jest sprzeczne, czyli nie ma rozwiązań.
\(a\) to współczynnik stojący przy niewiadomej, a \(b\) to stały składnik po uporządkowaniu równania. Odejmujemy \(b\), a następnie dzielimy przez \(a\). Gdy po uproszczeniu współczynnik przy niewiadomej wynosi zero, nie używamy tego wzoru: sprawdzamy prawdziwość pozostałej równości.
6. Błędy, które warto umieć rozpoznać
Przy nawiasach sprawdzaj każdy iloczyn. Zapis \(-2(x-3)\) daje \(-2x+6\), ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni. Przy usuwaniu mianowników pamiętaj także o składniku bez ułamka: w \(\frac{x}{3}+2=5\) po pomnożeniu przez trzy otrzymujemy \(x+6=15\), nie \(x+2=15\).
Po tej lekcji powinieneś umieć uzasadnić każdą zmianę równania: „odejmuję tę samą liczbę od obu stron”, „mnożę każdy składnik” lub „łączę składniki z niewiadomą”. Potrafisz także sprawdzić wynik w równaniu początkowym i odróżnić jedno rozwiązanie od braku rozwiązań oraz nieskończenie wielu rozwiązań.