Nierówności kwadratowe

Wyobraź sobie łuk mostu przecinający poziom rzeki. Punkty przecięcia wyznaczają granice, a całe fragmenty łuku znajdują się raz nad, a raz pod poziomem wody. Nierówność kwadratowa działa podobnie: szukamy tych wartości x, dla których parabola leży nad albo pod osią OX.

Co to jest nierówność kwadratowa?

Ma postać ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c≥0 lub ax²+bx+c≤0, gdzie a≠0.

Najważniejszy obraz: parabola

Wyrażenie ax²+bx+c opisuje funkcję kwadratową. Jej wykres jest parabolą.

• Gdy a>0, ramiona paraboli są skierowane w górę.
• Gdy a<0, ramiona paraboli są skierowane w dół.

Krok 1: wyznacz miejsca zerowe

Rozwiąż równanie ax²+bx+c=0. Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały, w których znak wyrażenia jest stały.

Krok 2: określ znaki na przedziałach

Jeżeli są dwa miejsca zerowe x₁<x₂:

• dla a>0 wyrażenie jest dodatnie na zewnątrz i ujemne między pierwiastkami,
• dla a<0 wyrażenie jest ujemne na zewnątrz i dodatnie między pierwiastkami.

Krok 3: wybierz przedziały pasujące do znaku nierówności

Przy znakach ≥ i ≤ włączamy miejsca zerowe. Przy znakach > i < nie włączamy ich.

Przykład z ramionami w górę

Rozwiąż x²-5x+6>0.

• x²-5x+6=(x-2)(x-3).
• Miejsca zerowe: 2 i 3.
• a=1>0, więc znak dodatni występuje na zewnątrz.
• Rozwiązanie: x<2 lub x>3.
• Zapis przedziałowy: (-∞,2)∪(3,∞).

Przykład z ramionami w dół

Rozwiąż -x²+4x-3≥0.

• -x²+4x-3=0 ma miejsca zerowe 1 i 3.
• a=-1<0, więc parabola jest nad osią między pierwiastkami.
• Znak ≥ oznacza włączenie miejsc zerowych.
• Rozwiązanie: [1,3].

Co gdy delta jest równa zero?

Parabola dotyka osi w jednym punkcie x₀.

• Dla a>0 wyrażenie jest nieujemne dla wszystkich x i równe zero tylko w x₀.
• Dla a<0 wyrażenie jest niedodatnie dla wszystkich x i równe zero tylko w x₀.

Co gdy delta jest ujemna?

Parabola nie przecina osi OX, więc znak wyrażenia jest wszędzie taki jak znak współczynnika a.

• Jeżeli a>0, wyrażenie jest dodatnie dla każdego x.
• Jeżeli a<0, wyrażenie jest ujemne dla każdego x.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim Z-R-Z-W: Zera znajdź, Ramiona sprawdź, Znaki rozłóż, Wybierz przedziały. Wyobraź sobie pałac z trzema pomieszczeniami. W pierwszym dwa miejsca zerowe stoją jak wielkie bramy na osi. W drugim gigantyczna parabola podnosi ramiona do góry albo opuszcza je jak skrzydła nietoperza. W trzecim podłoga świeci znakami plus i minus: przy ramionach w górę plusy uciekają na zewnątrz, a minus chowa się w środku; przy ramionach w dół dzieje się odwrotnie. Na końcu chwytasz tylko te świecące fragmenty, których żąda nierówność.

Przykład krok po kroku

Rozwiąż 2x²-8x+6≤0.

• Krok 1: Podziel przez 2: x²-4x+3≤0.
• Krok 2: Rozłóż na czynniki: (x-1)(x-3)≤0.
• Krok 3: Miejsca zerowe to 1 i 3.
• Krok 4: Współczynnik przy x² jest dodatni, więc znak ujemny występuje między miejscami zerowymi.
• Krok 5: Znak ≤ włącza końce przedziału.
• Krok 6: Rozwiązanie to [1,3].

Metoda tabeli znaków

Możesz rozłożyć trójmian na czynniki i zaznaczyć znaki każdego czynnika w kolejnych przedziałach. Iloczyn jest dodatni, gdy czynniki mają ten sam znak, i ujemny, gdy mają różne znaki.

Najczęstsze błędy

• Rozwiązanie tylko równania kwadratowego zamiast całej nierówności.
• Pominięcie kierunku ramion paraboli.
• Zamiana znaków na przedziałach.
• Niewłączenie miejsc zerowych przy ≥ lub ≤.
• Włączenie miejsc zerowych przy > lub <.
• Brak analizy przypadków Δ=0 i Δ<0.
• Błędny zapis sumy przedziałów.

Najczęstsze pytania