Nierówność kwadratowa pyta, dla jakich liczb trójmian kwadratowy jest dodatni, ujemny, nieujemny lub niedodatni. Wyznaczenie samych miejsc zerowych jest dopiero początkiem: trzeba jeszcze sprawdzić znaki pomiędzy nimi i poza nimi.
Co oznacza znak wartości i co pokazuje parabola
Po sprowadzeniu jednej strony do zera badamy wyrażenie \(f(x)=ax^2+bx+c\), gdzie \(a\neq0\). Dla wybranego \(x\) obliczamy liczbę \(f(x)\). Przykładowo dla \(f(x)=x^2-4\) mamy \(f(0)=-4\), \(f(2)=0\), \(f(3)=5\). Ta sama reguła daje więc różne znaki zależnie od argumentu.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Jej wysokość nad osią poziomą pokazuje wartość \(f(x)\): nad osią jest dodatnia, pod osią ujemna, a na osi wynosi zero. Miejsce zerowe to współrzędna \(x\) punktu przecięcia lub zetknięcia wykresu z osią, nie dowolny punkt paraboli.
Dodatnie \(a\) oznacza ramiona skierowane w górę, ujemne \(a\) w dół. Zanim zastosujesz tę regułę, doprowadź nierówność do postaci z zerem po prawej. Na przykład \(x^2\leq4\) zapisujemy \(x^2-4\leq0\).
Dwa miejsca zerowe i rozkład znaków
Dla \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) miejscami zerowymi są \(-2\) i \(2\). Dzielą oś na trzy części. Na lewo oba czynniki są ujemne, więc iloczyn dodatni. Między zerami jeden jest ujemny, drugi dodatni, więc iloczyn ujemny. Na prawo oba są dodatnie.
Dla \(x^2-4\lt0\) wybieramy \((-2;2)\), czyli liczby pod fragmentem wykresu leżącym poniżej osi. Dla \(x^2-4\geq0\) wybieramy \((-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\). Znak \(\geq\) pozwala włączyć punkty, w których wartość wynosi zero.
Przy dwóch różnych miejscach zerowych i \(a\gt0\) znaki to kolejno plus, minus, plus. Dla \(a\lt0\) wszystkie te znaki odwracamy.
Pełne rozwiązanie przykładu
Rozwiążmy \(x^2-5x+6\leq0\). Szukamy liczb dających wartość ujemną lub zero. Najpierw rozkładamy trójmian, szukając dwóch liczb o sumie \(-5\) i iloczynie \(6\): są to \(-2\) i \(-3\).
- Zapisz rozkład i oblicz miejsca zerowe.\((x-2)(x-3)\leq0,\quad x_1=2,\quad x_2=3\)
- Sprawdź współczynnik przy kwadracie. Dodatni współczynnik daje ujemne wartości między zerami.\(a=1\gt0\)
- Dołącz granice, ponieważ dopuszczamy także wartość zero.\(x\in[2;3]\)
- Sprawdź liczbę ze środka i oba końce.\(f\left(\frac52\right)=-\frac14,\quad f(2)=0,\quad f(3)=0\)
Liczby \(2\) i \(3\) nie są jedynymi rozwiązaniami. Należy każda liczba pomiędzy nimi, także ułamki. Nawiasy kwadratowe oznaczają dołączone końce; przy nierówności ostrej zamienilibyśmy je na okrągłe.
Ujemne a i zmiana kierunku nierówności
W \(-x^2+4\geq0\) ramiona są skierowane w dół. Między miejscami zerowymi \(-2\) i \(2\) wartości są dodatnie, więc rozwiązaniem jest \([-2;2]\). Ten sam wynik otrzymamy po pomnożeniu obu stron przez \(-1\).
Takie mnożenie odwraca znak: z \(-x^2+4\geq0\) dostajemy \(x^2-4\leq0\), a nie \(x^2-4\geq0\). Samo przenoszenie wyrazów przez dodawanie lub odejmowanie nie wymaga odwracania znaku. Rozróżniaj te operacje.
Jedno miejsce zerowe lub brak miejsc zerowych
Gdy \(\Delta=0\), trójmian dotyka osi i nie zmienia znaku po przejściu przez swój pierwiastek. Na przykład \((x-4)^2\leq0\) dopuszcza tylko \(x=4\). Dla \((x-4)^2\lt0\) nie ma rozwiązań, a dla \((x-4)^2\gt0\) pasują wszystkie liczby oprócz \(4\).
Przy \(\Delta\lt0\) trójmian nie ma zer i zawsze ma znak współczynnika \(a\). Stąd \(x^2+1\gt0\) jest prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych, a \(x^2+1\lt0\) dla żadnej. Dla \(-x^2-1\) znak jest zawsze ujemny. Nie rysuj dwóch granic, jeśli równanie ich nie ma.
Typowy błąd i sprawdzenie zbioru
Przed zakończeniem sprawdź: znak \(a\), liczbę różnych zer, położenie dodatnich i ujemnych wartości oraz włączenie końców. Przy nieskończoności zawsze zostaw nawias okrągły.