Równanie wielomianowe najczęściej rozwiązujemy przez sprowadzenie jednej strony do zera i rozłożenie wielomianu na czynniki. Następnie szukamy liczb zerujących poszczególne czynniki i zbieramy wszystkie otrzymane rozwiązania.
Wielomian i znaczenie rozwiązania
Wielomian jest sumą wyrazów z nieujemnymi całkowitymi potęgami zmiennej, np. \(x^3-4x\). Jego stopień to najwyższy wykładnik przy niezerowym współczynniku. Równanie \(x^3-4x=0\) pyta, dla jakich \(x\) ta suma wynosi zero.
Pierwiastek wielomianu to jego miejsce zerowe, czyli liczba spełniająca równanie. Niezerowy wielomian stopnia \(n\) ma najwyżej \(n\) różnych pierwiastków rzeczywistych, ale może mieć ich mniej. Równanie stopnia czwartego nie musi więc mieć czterech rozwiązań rzeczywistych.
Rozróżnij sumę i iloczyn. Z sumy \(A+B=0\) nie wynika, że oba składniki są zerowe: \(3+(-3)=0\). Dlatego najpierw potrzebujemy rozkładu na czynniki, a dopiero potem stosujemy zasadę iloczynu zerowego.
Iloczyn zerowy i zachowanie rozwiązania zero
Iloczyn jest zerowy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerowy. Reguła dotyczy również iloczynu trzech lub większej liczby czynników.
W \(x(x-3)=0\) mamy \(x=0\) lub \(x=3\). Nie dzielimy od razu przez \(x\), bo nie wiemy, czy jest niezerowe. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias zachowuje wszystkie możliwości, a podzielenie przez niego bez rozpatrzenia zera może zgubić rozwiązanie.
Jeżeli równanie ma postać \(x^3=4x\), odejmij \(4x\) od obu stron. Dopiero po uzyskaniu \(x^3-4x=0\) można wykorzystać rozkład i warunek iloczynu zerowego. Dla iloczynu równego np. \(6\) ta sama zasada nie działa.
Przykład z wyłączeniem czynnika i różnicą kwadratów
- W równaniu \(x^3-4x=0\) wyłącz czynnik wspólny obu wyrazów.\(x(x^2-4)=0\)
- Rozpoznaj różnicę kwadratów i rozłóż kolejny czynnik.\(x^2-4=(x-2)(x+2)\)
- Przyrównaj każdy czynnik do zera.\(x=0\quad\text{lub}\quad x-2=0\quad\text{lub}\quad x+2=0\)
- Zapisz zbiór i sprawdź wszystkie trzy liczby.\(x\in\{-2,0,2\},\quad -8+8=0,\quad0=0,\quad8-8=0\)
Zera zapisujemy raz, nawet jeżeli ten sam czynnik pojawia się wielokrotnie. Na przykład \((x-1)^2(x+2)=0\) ma dwa różne rozwiązania: \(1\) i \(-2\). Wykładnik dwa przy nawiasie nie tworzy nowej wartości liczbowej.
Grupowanie wyrazów
W równaniu \(x^3+2x^2-x-2=0\) nie ma litery \(x\) we wszystkich składnikach. Możemy jednak połączyć je parami: \((x^3+2x^2)+(-x-2)=0\). W pierwszej parze wyłączamy \(x^2\), w drugiej \(-1\).
Dostajemy \(x^2(x+2)-1(x+2)=0\). W obu składnikach pojawił się cały czynnik \(x+2\), więc zapisujemy \((x+2)(x^2-1)=0\). Różnica kwadratów daje \((x+2)(x-1)(x+1)=0\), zatem rozwiązania to \(-2,-1,1\).
Grupowanie ma cel: po wyłączeniu czynników chcemy uzyskać taki sam nawias. Jeżeli nawiasy są przeciwne, sprawdź, czy wyłączenie minusa z jednej grupy nie pozwoli ich uzgodnić. Każdy rozkład można skontrolować mnożeniem.
Podstawienie pomocnicze i powrót do x
Równanie \(x^4-5x^2+4=0\) zawiera \(x^4=(x^2)^2\) i \(x^2\). Wprowadzamy \(t=x^2\), więc \(t\geq0\). Otrzymujemy równanie kwadratowe \(t^2-5t+4=0\), czyli \((t-1)(t-4)=0\). Stąd \(t=1\) lub \(t=4\).
To jeszcze nie koniec, bo pytanie dotyczyło \(x\). Wracamy do podstawienia: \(x^2=1\) daje \(x=\pm1\), a \(x^2=4\) daje \(x=\pm2\). Zbiór odpowiedzi to \(\{-2,-1,1,2\}\), a nie \(\{1,4\}\).
Gdyby wyszło ujemne \(t\), trzeba je odrzucić, bo kwadrat rzeczywistego \(x\) nie jest ujemny. Podobnie w \((x^2+1)(x-3)=0\) pierwszy czynnik nie może być zerem w liczbach rzeczywistych. Pozostaje jedyne rozwiązanie \(x=3\).
Typowy błąd i kontrola kompletności
Sprawdź, czy uwzględniłeś każdy czynnik, czy wróciłeś do \(x\) po podstawieniu i czy nie dodałeś pierwiastków nierzeczywistych. Jeśli wszystkie wyrazy zniknęły i zostało \(0=0\), pasuje każde rzeczywiste \(x\); dla niezerowej stałej równej zero nie pasuje żadne.