Równanie wymierne zawiera ilorazy wielomianów. Gdy niewiadoma występuje w mianowniku, najpierw wykluczasz wartości powodujące dzielenie przez zero, a dopiero potem przekształcasz równanie. Na końcu sprawdzasz, czy otrzymane liczby są dopuszczalne.
Co oznacza dziedzina równania?
Mianownik to wyrażenie pod kreską ułamkową. Ułamek \(\frac{3}{x-2}\) istnieje tylko wtedy, gdy \(x-2\ne0\), czyli \(x\ne2\). Zbiór dopuszczalnych liczb nazywamy dziedziną. Zapis \(D=\mathbb R\setminus\{2\}\) oznacza wszystkie liczby rzeczywiste oprócz liczby \(2\).
Ograniczenia zbieramy ze wszystkich mianowników po obu stronach równania. Dla mianowników \(x\) oraz \(x-3\) wykluczamy zarówno \(0\), jak i \(3\). Nie wykluczamy zera licznika: \(\frac{0}{5}=0\) jest poprawnym działaniem.
Dlaczego można usunąć mianowniki?
Obie strony równania wolno pomnożyć przez tę samą liczbę różną od zera. Po ustaleniu dziedziny wiemy, że wybrany wspólny mianownik jest niezerowy. Mnożymy przez niego każdy składnik, a nie tylko wybrany ułamek.
W równaniu \(\frac{1}{x}+\frac12=1\) dziedzina to \(x\ne0\). Wspólnym mianownikiem jest \(2x\). Po pomnożeniu wszystkich składników dostajemy \(2+x=2x\), stąd \(x=2\). Sprawdzenie: \(\frac12+\frac12=1\).
Równoważność obowiązuje przy \(B(x)\ne0\) i \(D(x)\ne0\). Mnożenie „na krzyż” to skrót mnożenia obu stron przez iloczyn mianowników.
Przykład z dwoma różnymi mianownikami
Rozwiążmy \(\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x+1}\). Nie zaczynamy od mnożenia: najpierw ustalamy, gdzie te ułamki istnieją.
- Wyklucz zera obu mianowników.\(x\ne1,\quad x\ne-1\)
- Pomnóż obie strony przez niezerowy w dziedzinie iloczyn mianowników.\(2(x+1)=x-1\)
- Usuń nawias i odejmij niewiadomą oraz stałą po obu stronach.\(2x+2=x-1\ \Longrightarrow\ x=-3\)
- Sprawdź dziedzinę i podstaw do początkowego równania.\(\frac{2}{-3-1}=-\frac12,\qquad\frac{1}{-3+1}=-\frac12\)
Liczba \(-3\) nie jest wykluczona, a obie strony są równe. Zbiorem rozwiązań jest \(\{-3\}\).
Kiedy ułamek jest równy zeru?
Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Dla \(\frac{x^2-4}{x-2}=0\) najpierw zapisujemy \(x\ne2\). Równanie licznika \(x^2-4=0\) daje kandydatów \(-2\) i \(2\), ale drugi jest wykluczony. Zostaje \(x=-2\); po podstawieniu otrzymujemy \(\frac0{-4}=0\).
Można też rozłożyć licznik: \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\), lecz tylko dla \(x\ne2\). Skrócenie ułamka upraszcza zapis, ale nie przywraca wartości wykluczonej z pierwotnego równania.
Brak rozwiązań i nieskończenie wiele rozwiązań
Dla \(\frac{x+1}{x-2}=1\), przy \(x\ne2\), mnożenie daje \(x+1=x-2\), czyli \(1=-2\). To zdanie fałszywe: równanie nie ma rozwiązań.
Dla \(\frac{x-2}{x-2}=1\) otrzymujemy tożsamość \(1=1\), ale pierwotny mianownik nadal nie może być zerem. Rozwiązaniem jest cała dziedzina: \(\mathbb R\setminus\{2\}\). „Zawsze prawda” po uproszczeniu oznacza tutaj „prawda dla każdej liczby z dziedziny”.
Typowy błąd i końcowa kontrola
Kontroluj trzy rzeczy: czy wyznaczono dziedzinę przed skracaniem, czy wspólny mianownik pomnożył każdy składnik oraz czy wszystkie końcowe liczby należą do dziedziny. Jeśli pojawia się równanie kwadratowe, rozwiąż je, a potem wróć do ograniczeń równania wymiernego.