Równania wymierne

Wyobraź sobie kilka rur połączonych w jeden układ. Każdy mianownik jest jak zawór: gdy jego wartość wynosi zero, cały przepływ zostaje zablokowany. Dlatego w równaniach wymiernych najpierw ustalamy, które liczby są dozwolone, a dopiero potem wykonujemy obliczenia.

Co to jest równanie wymierne?

To równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku, na przykład 1/(x-2)=3 albo (x+1)/(x-3)=2.

Krok 1: ustal dziedzinę

Każdy mianownik musi być różny od zera.

• Dla 1/(x-2)=3 warunek to x-2≠0, czyli x≠2.
• Dla (x+1)/(x²-9)=0 warunki to x≠3 i x≠-3.

Krok 2: znajdź wspólny mianownik

Wspólny mianownik pozwala usunąć ułamki. Mnożymy przez niego obie strony równania, ale pamiętamy, że wolno to robić tylko dla wartości należących do dziedziny.

Krok 3: rozwiąż otrzymane równanie

Po usunięciu mianowników zwykle otrzymujemy równanie liniowe, kwadratowe albo wielomianowe.

Krok 4: sprawdź rozwiązania z dziedziną

Każdą otrzymaną wartość porównujemy z listą wykluczeń. Wartość zakazana nie może być rozwiązaniem, nawet jeśli pojawiła się w obliczeniach.

Przykład podstawowy

Rozwiąż (x+1)/(x-2)=2.

• Dziedzina: x≠2.
• Pomnóż obie strony przez x-2: x+1=2(x-2).
• Rozwiń nawias: x+1=2x-4.
• Przenieś wyrazy: x=5.
• Sprawdzenie dziedziny: 5≠2, więc x=5 jest rozwiązaniem.

Przykład z kilkoma mianownikami

Rozwiąż 1/x+1/(x+1)=3/[x(x+1)].

• Dziedzina: x≠0 i x≠-1.
• Wspólny mianownik: x(x+1).
• Pomnóż całe równanie przez x(x+1): (x+1)+x=3.
• 2x+1=3, więc 2x=2 i x=1.
• Liczba 1 należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem.

Równanie, w którym kandydat jest zakazany

Rozwiąż (x+2)/(x-1)=3/(x-1).

• Dziedzina: x≠1.
• Pomnóż przez x-1: x+2=3.
• Otrzymujesz x=1.
• Ale x=1 jest wykluczone z dziedziny.
• Równanie nie ma rozwiązań.

Równanie z licznikiem równym zero

Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera.

Przykład: (x-4)/(x+2)=0 daje x=4, przy warunku x≠-2.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-M-R-S: Dziedzinę zapisz, Mianowniki usuń, Równanie rozwiąż, Sprawdź wynik. Wyobraź sobie pałac z czterema pokojami. W pierwszym gigantyczny strażnik przekreśla liczby zerujące mianowniki. W drugim ogromna szczotka zmiata wszystkie kreski ułamkowe po pomnożeniu przez wspólny mianownik. W trzecim równanie układa się grzecznie w jeden prosty rząd. W czwartym rozwiązania przechodzą przez bramkę bezpieczeństwa: każda zakazana liczba wpada do zapadni z głośnym hukiem.

Przykład krok po kroku

Rozwiąż 2/(x-1)-1/(x+1)=1.

• Krok 1: Dziedzina: x≠1 i x≠-1.
• Krok 2: Wspólny mianownik to (x-1)(x+1).
• Krok 3: Pomnóż całe równanie przez wspólny mianownik.
• Krok 4: Otrzymujesz 2(x+1)-(x-1)=(x-1)(x+1).
• Krok 5: Uprość lewą stronę: 2x+2-x+1=x+3.
• Krok 6: Rozwiń prawą stronę: x²-1.
• Krok 7: x+3=x²-1, więc x²-x-4=0.
• Krok 8: Δ=1+16=17, zatem x=(1-√17)/2 lub x=(1+√17)/2.
• Krok 9: Żadne z tych rozwiązań nie jest równe 1 ani -1, więc oba należą do rozwiązania.

Kontrola poprawności

• Zapisz wszystkie wykluczenia jeszcze przed przekształceniami.
• Mnożenie wykonaj przez wspólny mianownik całego równania, nie tylko wybranego składnika.
• Po rozwiązaniu sprawdź każdą wartość w dziedzinie.
• W trudniejszym zadaniu podstaw wynik do równania początkowego.

Najczęstsze błędy

• Brak zapisania dziedziny.
• Skracanie składników sumy zamiast czynników iloczynu.
• Pomnożenie tylko jednej strony równania przez mianownik.
• Pominięcie któregoś czynnika wspólnego mianownika.
• Przyjęcie wartości wykluczonej jako rozwiązania.
• Założenie, że ułamek jest równy zero, gdy zeruje się mianownik.
• Brak nawiasów podczas usuwania mianowników.

Najczęstsze pytania