Równanie potęgowe w postaci \(x^n=a\), gdzie \(n\) jest dodatnią liczbą całkowitą, polega na znalezieniu wszystkich rzeczywistych liczb, których \(n\)-ta potęga jest równa \(a\). Kluczowe jest to, czy wykładnik jest parzysty, czy nieparzysty.
Co jest podstawą, a co wykładnikiem?
W zapisie \(x^3\) podstawą jest \(x\), a wykładnikiem liczba \(3\). Zapis oznacza \(x\cdot x\cdot x\). W \((x-2)^4\) podstawą całej potęgi jest wyrażenie \(x-2\), dlatego nawias jest istotny. Najpierw ustalamy jego możliwe wartości, a potem obliczamy \(x\).
Nie myl \(x^3\) z \(3^x\). W pierwszym zapisie niewiadoma jest w podstawie, w drugim — w wykładniku. Równaniami drugiego rodzaju zajmuje się temat o równaniach wykładniczych.
Dlaczego parzystość zmienia liczbę rozwiązań?
Potęga parzysta liczby ujemnej jest dodatnia: \((-2)^4=16\), bo minusy łączą się w pary. Taką samą wartość ma \(2^4\). Potęga nieparzysta zachowuje znak podstawy: \((-2)^3=-8\), a \(2^3=8\). Każda rozważana potęga zera jest zerem.
| Równanie | Warunek | Rozwiązania rzeczywiste |
|---|---|---|
| \(x^n=a\), \(n\) parzyste | \(a\gt0\) | Dwa: \(x=\pm\sqrt[n]{a}\) |
| \(x^n=a\), \(n\) parzyste | \(a=0\) | Jedno: \(x=0\) |
| \(x^n=a\), \(n\) parzyste | \(a\lt0\) | Brak |
| \(x^n=a\), \(n\) nieparzyste | Dowolne \(a\in\mathbb R\) | Jedno: \(x=\sqrt[n]{a}\) |
Pierwiastek stopnia parzystego oznacza wartość nieujemną: \(\sqrt{9}=3\). Natomiast równanie \(x^2=9\) ma dwa rozwiązania: \(x=3\) oraz \(x=-3\). Symbol \(\pm\) w odpowiedzi zapisuje te dwie możliwości, a nie zmienia definicji pierwiastka.
Najpierw wyodrębnij potęgę
Rozwiążmy \(2x^4-7=155\). Nie wyciągamy pierwiastka z całej lewej strony. Najpierw wykonujemy te same działania po obu stronach, aby została sama potęga.
- Dodaj do obu stron tę samą liczbę.\(2x^4=162\)
- Podziel obie strony przez współczynnik przy potędze.\(x^4=81\)
- Rozpoznaj dodatnią wartość czwartej potęgi i uwzględnij oba znaki.\(3^4=81,\qquad x=3\ \text{lub}\ x=-3\)
- Sprawdź obie liczby w równaniu początkowym.\(2\cdot3^4-7=155,\qquad 2\cdot(-3)^4-7=155\)
Dla porównania \(x^3=-125\) daje tylko \(x=-5\), ponieważ \((-5)^3=-125\), a \(5^3=125\). Przy nieparzystym wykładniku nie dopisujemy automatycznie dwóch znaków.
Gdy pod potęgą jest całe wyrażenie
W równaniu \((x+2)^2=9\) cała podstawa \(x+2\) może być równa \(3\) albo \(-3\). Rozwiązujemy zatem \(x+2=3\) oraz \(x+2=-3\). Otrzymujemy \(x=1\) albo \(x=-5\). Sprawdzenie: \((1+2)^2=9\) i \((-5+2)^2=9\).
Zapis \(x+2=\pm3\) jest skrótem dwóch równań, nie poleceniem „dodaj i odejmij naraz”. Podobnie \((2x)^3=64\) prowadzi do \(2x=4\), a następnie do \(x=2\). Nie kończymy rozwiązania na wartości całego nawiasu.
Zero, liczba ujemna i wyniki niewymierne
Równanie \((x-3)^4=0\) wymaga \(x-3=0\), więc ma jedno rozwiązanie \(x=3\). Równanie \(x^6=-64\) nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ lewa strona jest zawsze nieujemna.
Wynik nie musi być liczbą całkowitą. Dla \(x^2=5\) zapisujemy dokładnie \(x=\pm\sqrt5\); nie zastępujemy go przybliżeniem bez potrzeby. Dla \(x^3=2\) rozwiązaniem jest \(\sqrt[3]{2}\).
Typowy błąd: zgubiony znak albo nawias
Zwróć uwagę, że \((-3)^2=9\), lecz \(-3^2=-9\): w drugim zapisie potęgowanie wykonujemy przed minusem. Przy podstawianiu ujemnego rozwiązania zawsze ujmuj je w nawias. Przed oddaniem odpowiedzi sprawdź wykładnik, znak prawej strony oraz wszystkie znalezione liczby.