Równanie wykładnicze to równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi, na przykład \(2^x=8\). Szukamy wtedy wykładnika: tutaj \(x=3\), ponieważ \(2^3=8\). W tym temacie podstawy potęg są dodatnie i różne od jedności.
Przypomnij sobie znaczenie wykładnika
Dodatni wykładnik całkowity opisuje powtarzane mnożenie: \(2^3=2\cdot2\cdot2=8\). Wykładnik zerowy daje \(2^0=1\), a ujemny oznacza odwrotność: \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18\). Dlatego rozwiązaniem równania wykładniczego może być zero lub liczba ujemna.
Wykładnik może być też ułamkiem: \(4^{1/2}=\sqrt4=2\). Do sprowadzania potęg do wspólnej podstawy potrzebujemy reguły \((a^p)^q=a^{pq}\), przy dodatnim \(a\). Na przykład \(4^x=(2^2)^x=2^{2x}\). Nie jest to \(2^{x+2}\).
Dlaczego można porównać wykładniki?
Dla \(a\gt1\) wartości \(a^x\) rosną wraz z \(x\), a dla \(0\lt a\lt1\) maleją. W obu przypadkach różne wykładniki dają różne wartości. Zatem gdy podstawy są takie same, równość potęg wymusza równość wykładników.
Warunki: \(a\gt0\) i \(a\ne1\); oba wykładniki muszą być określone. Przy podstawie \(1\) wszystkie potęgi mają wartość \(1\), więc ta reguła nie działa.
Na wykresie oś pozioma przedstawia wykładnik \(x\), a pionowa wartość \(y=2^x\). Każda pozioma prosta o dodatniej wysokości przecina wykres raz. Wykres zbliża się do osi poziomej, lecz jej nie dotyka: dodatnia podstawa daje dodatnią potęgę.
Przykład: sprowadzenie do wspólnej podstawy
Rozwiążmy \(4^{x+1}=8^{x-1}\). Ponieważ \(4=2^2\) oraz \(8=2^3\), obie strony można zapisać jako potęgi liczby \(2\).
- Zastąp podstawy potęgami tej samej liczby.\((2^2)^{x+1}=(2^3)^{x-1}\)
- Pomnóż wykładniki, zachowując nawiasy.\(2^{2(x+1)}=2^{3(x-1)}\)
- Porównaj wykładniki; wspólna podstawa spełnia wymagane warunki.\(2x+2=3x-3\)
- Rozwiąż powstałe równanie liniowe.\(x=5\)
- Sprawdź wynik w pierwotnym zapisie.\(4^6=4096,\qquad8^4=4096\)
Ujemne i ułamkowe wykładniki
W równaniu \(9^x=\frac1{27}\) zapisujemy \(9=3^2\) oraz \(\frac1{27}=3^{-3}\). Otrzymujemy \(3^{2x}=3^{-3}\), więc \(2x=-3\), czyli \(x=-\frac32\). Sprawdzenie: \(9^{-3/2}=\frac1{(\sqrt9)^3}=\frac1{27}\).
Podstawa mniejsza od jedności też jest poprawna. Równanie \((\frac12)^x=8\) zapisujemy jako \(2^{-x}=2^3\), skąd \(-x=3\) i \(x=-3\). Ujemny wykładnik odwraca ułamek.
Podstawienie, gdy występuje kilka potęg
Rozważmy \(4^x-5\cdot2^x+4=0\). Zauważmy, że \(4^x=(2^x)^2\). Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \(t=2^x\) i od razu zapisujemy \(t\gt0\), bo potęga dodatniej liczby nigdy nie jest zerem ani liczbą ujemną.
Równanie przyjmuje postać \(t^2-5t+4=0\), czyli \((t-1)(t-4)=0\). Dostajemy \(t=1\) lub \(t=4\); obie wartości są dodatnie. Wracamy do \(x\): \(2^x=1\) daje \(x=0\), a \(2^x=4\) daje \(x=2\). Sprawdzenie: dla \(x=0\) mamy \(1-5+4=0\), a dla \(x=2\): \(16-20+4=0\).
Gdy równanie pomocnicze daje \(t\le0\), taki kandydat odpada. Odpowiedzią mają być wartości \(x\), nie wartości pomocniczej litery \(t\).
Typowe błędy i granice metody
Równania \(2^x=0\) oraz \(2^x=-1\) nie mają rozwiązań rzeczywistych. Natomiast \(2^x=3\) ma rozwiązanie, choć nie widać wspólnej podstawy z prostym wykładnikiem. Można je zapisać \(x=\log_2 3\); znaczenie tego zapisu wyjaśnia kolejny temat.