Równanie logarytmiczne zawiera logarytm z niewiadomą, najczęściej w jego argumencie. Aby je rozwiązać, najpierw ustalamy, kiedy logarytmy istnieją, a następnie korzystamy z definicji logarytmu lub z jego własności.
Logarytm to pytanie o wykładnik
Zapis \(\log_2 8=3\) czytamy: „logarytm z ośmiu przy podstawie dwa wynosi trzy”. Odpowiada on na pytanie: do jakiej potęgi podnieść \(2\), aby otrzymać \(8\)? Odpowiedź to \(3\), ponieważ \(2^3=8\). Liczba \(2\) jest podstawą, a \(8\) argumentem logarytmu.
Podstawa spełnia \(a\gt0\) i \(a\ne1\), a argument \(b\gt0\). Wynik \(c\) może być dodatni, zerowy lub ujemny.
Przykładowo \(\log_2 1=0\), bo \(2^0=1\), oraz \(\log_2\frac14=-2\), bo \(2^{-2}=\frac14\). Dodatni musi być argument, a nie wynik logarytmu. Zapis \(\log b\) w tym materiale oznacza logarytm dziesiętny, czyli o podstawie \(10\).
Dziedzina: najpierw sprawdź każdy argument
Dla \(\log_5(2x-6)\) potrzebujemy \(2x-6\gt0\), więc \(x\gt3\). W wyrażeniu \(\log(x-2)+\log(x+1)\) oba argumenty muszą być dodatnie jednocześnie: \(x\gt2\) i \(x\gt-1\). Wspólna część warunków to \(x\gt2\).
Nie wystarczy wymagać, aby iloczyn argumentów był dodatni. Dwa ujemne argumenty dają dodatni iloczyn, ale osobne logarytmy nadal nie istnieją w liczbach rzeczywistych. Dziedzinę wyznaczamy z początkowego zapisu.
Przy \(\log_3(x^2)\) warunek dotyczy całego \(x^2\): \(x^2\gt0\), czyli \(x\ne0\). Dopuszczalne są więc także ujemne wartości \(x\).
Przykład z definicji, bez zgadywania
Rozwiążmy \(\log_2(x-1)=3\). Zamiast „usuwać logarytm” bez uzasadnienia, odczytamy definicję.
- Wymagaj dodatniego argumentu.\(x-1\gt0\ \Longrightarrow\ x\gt1\)
- Podnieś podstawę do wykładnika będącego wynikiem logarytmu.\(x-1=2^3=8\)
- Wyznacz niewiadomą.\(x=9\)
- Sprawdź dziedzinę oraz wartość początkowego logarytmu.\(9\gt1,\qquad\log_2(9-1)=\log_2 8=3\)
Podobnie \(\log_5(x+4)=0\) prowadzi do \(x+4=5^0=1\), więc \(x=-3\). Liczba ta spełnia dziedzinę \(x\gt-4\). Zero po prawej stronie nie oznacza zerowego argumentu.
Równe logarytmy o tej samej podstawie
Dla poprawnej podstawy funkcja logarytmiczna przyjmuje tę samą wartość tylko dla jednakowych argumentów. Dlatego \(\log_a u=\log_a v\) jest równoważne \(u=v\), jeśli \(u\gt0\), \(v\gt0\), \(a\gt0\), \(a\ne1\).
W równaniu \(\log_2 x=\log_2(3x-4)\) dziedzina wymaga \(x\gt0\) i \(3x-4\gt0\), czyli łącznie \(x\gt\frac43\). Porównujemy argumenty: \(x=3x-4\), stąd \(x=2\). Wynik należy do dziedziny, a po obu stronach mamy \(\log_2 2=1\).
Dla różnych podstaw nie można w ten sposób porównać argumentów: \(\log_2 8=\log_3 27=3\), choć \(8\ne27\).
Suma logarytmów i odrzucenie kandydata
Dla dodatnich \(u,v\) obowiązuje \(\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)\). W równaniu \(\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3\) najpierw wymagamy \(x\gt1\). Następnie łączymy logarytmy i dostajemy \(\log_2((x-1)(x+1))=3\).
Z definicji \((x-1)(x+1)=2^3=8\). Ponieważ iloczyn to \(x^2-1\), mamy \(x^2=9\), czyli kandydatów \(x=3\) oraz \(x=-3\). Dziedzina odrzuca \(-3\). Dla \(3\) sprawdzenie daje \(\log_2 2+\log_2 4=1+2=3\).
Gdy argumentem jest kwadrat, sytuacja może być inna. Równanie \(\log_3(x^2)=2\) daje \(x^2=9\), a obie liczby \(3\) i \(-3\) są dozwolone, ponieważ obie spełniają \(x\ne0\).
Typowy błąd i końcowa kontrola
Podstawa może leżeć między zerem a jednością: \(\log_{1/2}x=-2\) daje \(x=(\frac12)^{-2}=4\). Zawsze kontroluj podstawę, dodatniość każdego argumentu oraz wynik po podstawieniu. Kandydat uzyskany z poprawnych rachunków jest rozwiązaniem dopiero wtedy, gdy spełnia początkową dziedzinę.