Równania logarytmiczne

Wyobraź sobie sejf z zamkiem szyfrowym. Znasz podstawę potęgi i wynik, ale nie wiesz, jaki wykładnik otworzy zamek. Logarytm odpowiada właśnie na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać wskazaną liczbę?

Co to jest równanie logarytmiczne?

To równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem logarytmu, w podstawie logarytmu lub w wyrażeniu związanym z logarytmem, na przykład log₂(x)=3 albo log₃(x-1)+log₃(x+1)=2.

Najpierw dziedzina

Każdy argument logarytmu musi być dodatni. Dodatkowo podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1.

• Dla log₂(x-3) zapisujemy x-3>0, czyli x>3.
• Dla log_x(9) zapisujemy x>0 oraz x≠1.

Podstawowa definicja

Równość log_a(b)=c jest równoważna równości a^c=b, gdy a>0, a≠1 i b>0.

Typ 1: pojedynczy logarytm

Rozwiąż log₂(x)=5.

• Dziedzina: x>0.
• Z definicji logarytmu: x=2⁵.
• x=32.

Typ 2: logarytmy o tej samej podstawie

Jeżeli a>0, a≠1 i log_a(f(x))=log_a(g(x)), to po uwzględnieniu dziedziny można zapisać f(x)=g(x).

Przykład: log₃(2x-1)=log₃(x+4).

• Dziedzina: 2x-1>0 i x+4>0, więc x>1/2.
• Porównaj argumenty: 2x-1=x+4.
• x=5.
• Liczba 5 spełnia dziedzinę.

Typ 3: korzystanie z własności logarytmów

Rozwiąż log₂(x)+log₂(x-2)=3.

• Dziedzina: x>0 i x-2>0, więc x>2.
• Połącz logarytmy: log₂(x(x-2))=3.
• Z definicji: x(x-2)=2³=8.
• x²-2x-8=0.
• (x-4)(x+2)=0, więc x=4 lub x=-2.
• Z dziedziny zostaje tylko x=4.

Typ 4: różnica logarytmów

Rozwiąż log₃(x+2)-log₃(x-1)=1.

• Dziedzina: x+2>0 i x-1>0, więc x>1.
• Połącz logarytmy: log₃((x+2)/(x-1))=1.
• Z definicji: (x+2)/(x-1)=3.
• x+2=3x-3.
• 5=2x, więc x=5/2.
• Wynik spełnia dziedzinę.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-Z-W-O-N: Dziedzinę zapisz, Złącz logarytmy, Wykorzystaj definicję, Oblicz równanie, Niewłaściwe wyniki odrzuć. Wyobraź sobie pięć pomieszczeń. Przy drzwiach groźny ochroniarz wpuszcza tylko dodatnie argumenty. W drugim pokoju dwa logarytmy zderzają się i sklejają w jeden gigantyczny znak. W trzecim logarytm zamienia się z hukiem w potęgę. W czwartym liczby tańczą, aż równanie zostaje rozwiązane. W ostatnim pokoju fałszywe wyniki spadają przez zapadnię, a poprawne dzwonią wielkim złotym dzwonem.

Przykład krok po kroku

Rozwiąż log₃(x-1)+log₃(x+1)=2.

• Krok 1: Dziedzina: x-1>0 i x+1>0, więc x>1.
• Krok 2: Połącz logarytmy: log₃((x-1)(x+1))=2.
• Krok 3: Z definicji logarytmu: (x-1)(x+1)=3².
• Krok 4: x²-1=9.
• Krok 5: x²=10.
• Krok 6: x=-√10 lub x=√10.
• Krok 7: Warunek x>1 spełnia tylko x=√10.
• Krok 8: Odpowiedź: x=√10.

Najczęstsze błędy

• Pomijanie dziedziny przed przekształceniami.
• Przyjmowanie argumentu logarytmu równego zero lub ujemnego.
• Błędne stosowanie wzoru log_a(u+v)=log_a(u)+log_a(v), który nie jest prawdziwy.
• Zapominanie, że log_a(u)-log_a(v)=log_a(u/v).
• Porównywanie argumentów logarytmów o różnych podstawach bez wcześniejszego przekształcenia.
• Nieodrzucanie rozwiązania równania algebraicznego, które nie spełnia dziedziny.

Najczęstsze pytania