Układ dwóch równań liniowych rozwiązujemy, szukając pary liczb \((x,y)\), która spełnia oba równania jednocześnie. Najczęściej używamy podstawiania lub przeciwnych współczynników. Wynikiem może być jedna para, brak par albo nieskończenie wiele par.
Co właściwie jest rozwiązaniem układu?
W równaniu \(x+y=7\) pasują między innymi pary \((1,6)\), \((2,5)\) i \((4,3)\). Drugie równanie, \(x-y=1\), dodaje kolejny warunek. Z wymienionych par tylko \((4,3)\) spełnia również ten warunek: \(4-3=1\).
Klamra przy dwóch równaniach oznacza „oba warunki naraz”. W parze uporządkowanej najpierw zapisujemy \(x\), potem \(y\). Para \((4,3)\) to co innego niż \((3,4)\). Rozwiązanie tylko pierwszego równania nie wystarczy.
Liczby \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\) są znanymi współczynnikami. Szukamy \(x\) i \(y\), które spełniają obie równości.
Podstawianie: zamień jedną literę na równe jej wyrażenie
Rozwiążmy układ \(x+y=7\) oraz \(x-y=1\). Z pierwszego równania odejmujemy \(x\) po obu stronach i otrzymujemy \(y=7-x\). To pozwala w drugim równaniu zastąpić całą literę \(y\) wyrażeniem \(7-x\). Zostanie tylko jedna niewiadoma.
- Wyznacz jedną niewiadomą z prostszego równania.\(y=7-x\)
- Wstaw całe wyrażenie w miejsce drugiej niewiadomej; zachowaj nawias.\(x-(7-x)=1\)
- Usuń nawias, zmieniając znaki wszystkich jego składników.\(x-7+x=1\)
- Zredukuj wyrazy podobne i rozwiąż równanie.\(2x=8\ \Longrightarrow\ x=4\)
- Wróć do wzoru na drugą niewiadomą.\(y=7-4=3\)
- Sprawdź jedną otrzymaną parę w obu równaniach.\(4+3=7,\qquad4-3=1\)
Odpowiadamy \((x,y)=(4,3)\). Nie kończymy pracy na \(x=4\), ponieważ układ pyta o obie niewiadome. Do obliczenia \(y\) można użyć dowolnego równania początkowego.
Przeciwne współczynniki: jak pozbyć się jednej niewiadomej?
W tym samym układzie składniki \(+y\) i \(-y\) są przeciwne. Dodajemy lewe strony do siebie oraz prawe strony do siebie: \((x+y)+(x-y)=7+1\). Otrzymujemy \(2x=8\), więc znów \(x=4\), a po podstawieniu \(y=3\).
Gdy przeciwne współczynniki nie są od razu widoczne, można je przygotować. Dla \(2x+3y=13\) i \(x+2y=8\) mnożymy całe drugie równanie przez \(-2\): \(-2x-4y=-16\). Dodanie go do pierwszego daje \(-y=-3\), więc \(y=3\). Z \(x+2\cdot3=8\) otrzymujemy \(x=2\). Kontrola: \(4+9=13\) i \(2+6=8\).
Samo dodanie równań daje tylko jeden warunek. Zachowujemy również jedno z równań początkowych, aby później wyznaczyć drugą niewiadomą. Nie odrzucamy całej informacji o układzie.
Jak wybrać metodę i nie zgubić znaku?
Podstawianie jest wygodne, gdy jedna zmienna ma współczynnik \(1\) albo \(-1\), np. \(y=3-x\). Przeciwne współczynniki są wygodne, gdy łatwo wyeliminować tę samą literę przez dodanie równań. Obie metody prowadzą do tego samego zbioru rozwiązań.
Gdy mnożysz równanie przez liczbę, pomnóż każdy składnik oraz prawą stronę. Gdy odejmujesz równania, odejmujesz całe strony, więc szczególnie pilnuj nawiasów.
Jedno rozwiązanie, brak rozwiązań lub nieskończenie wiele
Układ z jedną parą rozwiązań nazywamy oznaczonym. W układzie \(x+y=2\), \(2x+2y=4\) drugie równanie powtarza pierwsze. Eliminacja daje \(0=0\), czyli prawdę. Pozostaje jeden warunek \(x+y=2\); rozwiązaniami są wszystkie pary \((t,2-t)\), gdzie \(t\in\mathbb R\). To układ nieoznaczony, a nie zbiór wszystkich dowolnych par.
Układ \(x+y=2\), \(x+y=5\) daje po odjęciu \(0=-3\). To fałsz, więc żadna para nie spełnia obu równań. Układ nazywamy sprzecznym.
Jeżeli każde równanie opisuje prostą, te trzy sytuacje odpowiadają kolejno: jednemu punktowi przecięcia, pokrywającym się prostym i różnym prostym równoległym. Punkt przecięcia ma współrzędne będące rozwiązaniem układu.
Jak sprawdzić odpowiedź?
Podstaw tę samą parę do każdego równania początkowego. Jeżeli choć jedna równość jest fałszywa, para nie jest rozwiązaniem. Dla \(x+y=7\), \(x-y=1\) para \((3,4)\) daje wprawdzie \(7\) w pierwszym równaniu, ale \(-1\) w drugim, dlatego odpada.
Przy nieskończenie wielu rozwiązaniach podaj zależność łączącą zmienne, np. \(y=2-x\), lub opis wszystkich par. Przy sprzeczności napisz „brak rozwiązań”. Zapis \(0=0\) jest etapem rozumowania, a nie gotową parą \((0,0)\).