Układy równań liniowego i kwadratowego

Wyobraź sobie wykres lotu piłki, który tworzy łuk paraboli, oraz prostą linię wyznaczającą wysokość barierki. Pytanie brzmi: w ilu miejscach tor piłki przecina barierkę? Każdy taki punkt odpowiada rozwiązaniu układu równania liniowego i kwadratowego.

Na czym polega taki układ?

Jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe. Najczęściej zapisujemy je w postaci y=ax+b oraz y=px²+qx+r. Rozwiązaniem są pary (x,y), które spełniają oba równania jednocześnie.

Obraz geometryczny

Równanie liniowe opisuje prostą, a równanie kwadratowe parabolę. Liczba rozwiązań zależy od liczby punktów wspólnych tych wykresów.

• Dwa punkty przecięcia oznaczają dwa rozwiązania.
• Jeden punkt styczności oznacza jedno rozwiązanie.
• Brak punktów wspólnych oznacza brak rozwiązań.

Najważniejsza metoda: podstawianie

Z równania liniowego wyznacz y, a następnie podstaw to wyrażenie do równania kwadratowego. Otrzymasz równanie kwadratowe z jedną niewiadomą.

Przykład z dwoma rozwiązaniami

Rozwiąż układ y=x+2 oraz y=x².

• Porównaj prawe strony: x²=x+2.
• Przenieś wszystko na jedną stronę: x²-x-2=0.
• Rozłóż na czynniki: (x-2)(x+1)=0.
• x=2 lub x=-1.
• Dla x=2: y=2+2=4.
• Dla x=-1: y=-1+2=1.
• Rozwiązania: (2,4) oraz (-1,1).

Przykład z jednym rozwiązaniem

Rozwiąż układ y=2x-1 oraz y=x².

• x²=2x-1.
• x²-2x+1=0.
• (x-1)²=0.
• x=1.
• y=2·1-1=1.
• Rozwiązanie: (1,1). Prosta jest styczna do paraboli.

Rola wyróżnika

Po podstawieniu otrzymujesz równanie kwadratowe. Jego wyróżnik Δ podpowiada liczbę rozwiązań układu.

• Δ>0: dwa rozwiązania.
• Δ=0: jedno rozwiązanie.
• Δ<0: brak rozwiązań rzeczywistych.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-A-R-A: Podstaw równanie liniowe, Algebraicznie uporządkuj, Rozwiąż równanie kwadratowe, A następnie oblicz drugą współrzędną. Wyobraź sobie cztery stacje w pokoju. Na biurku prosta wskakuje do wnętrza paraboli. Na kanapie liczby wirują i ustawiają się po jednej stronie równania. Przy szafie olbrzymi znak Δ pokazuje dwa miecze, jeden miecz albo pustą dłoń. Na końcu przy drzwiach każda wartość x dostaje swoją partnerkę y i para wychodzi jako gotowy punkt.

Przykład krok po kroku

Rozwiąż układ y=3x-2 oraz y=x²-2x+2.

• Krok 1: Zrównaj prawe strony: 3x-2=x²-2x+2.
• Krok 2: Przenieś wszystko na jedną stronę: x²-5x+4=0.
• Krok 3: Rozłóż na czynniki: (x-1)(x-4)=0.
• Krok 4: x=1 lub x=4.
• Krok 5: Dla x=1 oblicz y=3·1-2=1.
• Krok 6: Dla x=4 oblicz y=3·4-2=10.
• Krok 7: Rozwiązania to (1,1) oraz (4,10).
• Krok 8: Sprawdź obie pary w obu równaniach.

Gdy równanie liniowe nie jest zapisane jako y=...

Najpierw wyznacz y. Na przykład z równania 2x+y=5 otrzymujesz y=5-2x, a następnie podstawiasz tę postać do równania kwadratowego.

Najczęstsze błędy

• Podstawienie tylko do jednej części równania kwadratowego.
• Błędne przenoszenie wyrazów i zmiana znaków.
• Zatrzymanie się po obliczeniu x bez wyznaczenia y.
• Połączenie wartości x i y w niewłaściwe pary.
• Zapominanie, że każde rozwiązanie jest uporządkowaną parą (x,y).
• Niepoprawna interpretacja Δ jako liczby punktów przecięcia.

Najczęstsze pytania