Układ równania liniowego i kwadratowego rozwiązujemy zwykle przez podstawienie wyrażenia z równania liniowego do drugiego równania. Znalezione wartości trzeba na końcu połączyć w pary \((x,y)\), które spełniają oba warunki jednocześnie.
Dlaczego szukamy par, a nie osobnych liczb?
Równanie \(y=x^2\) przypisuje każdej liczbie \(x\) jej kwadrat. Na przykład dla \(x=-1\) daje \(y=1\), a dla \(x=2\) daje \(y=4\). Równanie \(y=x+2\) stawia drugi warunek. Rozwiązaniem układu jest para, dla której oba równania dają to samo \(y\).
Na rysunku pozioma oś przedstawia \(x\), a pionowa \(y\). Punkt \((-1,1)\) leży jedną jednostkę w lewo od zera i jedną w górę. Punkt \((2,4)\) leży dwie w prawo i cztery w górę. Punkt wspólny wykresów spełnia oba równania.
Podstawienie i przyrównanie prawych stron
Jeżeli obie równości zaczynają się od \(y=\), możemy przyrównać ich prawe strony. Skoro \(y=x+2\) i \(y=x^2\), to \(x+2=x^2\). Nie dodajemy tych wyrażeń: ustalamy, kiedy są równe.
Po rozwiązaniu równania dla \(x\) obliczamy \(y=ax+b\) osobno dla każdej znalezionej wartości \(x\). Symbol \(q(x)\) oznacza tutaj wyrażenie kwadratowe.
Jeśli równanie liniowe nie ma jeszcze takiej postaci, najpierw wyznacz wygodniejszą zmienną. Na przykład \(x+y=3\) daje \(y=3-x\). Do równania zawierającego \(y^2\) podstawiamy wtedy \((3-x)^2\), a nie \(3-x^2\).
Pełny przykład: dwa punkty przecięcia
Rozwiążmy układ z rysunku: \(y=x+2\) oraz \(y=x^2\). Zaczniemy od jednej niewiadomej, ale odpowiedzią będą dwa punkty.
- Przyrównaj wyrażenia równe temu samemu \(y\).\(x^2=x+2\)
- Odejmij całą prawą stronę i rozłóż trójmian na czynniki.\(x^2-x-2=0\ \Longrightarrow\ (x-2)(x+1)=0\)
- Przyrównaj każdy czynnik do zera.\(x=2\quad\text{lub}\quad x=-1\)
- Dla pierwszej wartości oblicz odpowiadające jej \(y\).\(x=2:\quad y=2+2=4\)
- Dla drugiej wartości osobno oblicz \(y\).\(x=-1:\quad y=-1+2=1\)
- Sprawdź równanie kwadratowe dla obu par.\(4=2^2,\qquad1=(-1)^2\)
Odpowiedź: \((2,4)\) oraz \((-1,1)\). Pary \((2,1)\) i \((-1,4)\) nie pasują: nie wolno dowolnie zamieniać otrzymanych wartości \(y\) między argumentami.
Kiedy otrzymamy jeden punkt albo żadnego?
Prosta \(y=0\) ma z parabolą \(y=x^2\) jeden punkt wspólny: z \(x^2=0\) dostajemy \(x=0\), a potem \(y=0\). Prosta dotyka paraboli w punkcie \((0,0)\); w tym przypadku jest jej styczną.
Prosta \(y=-1\) nie ma punktów wspólnych z \(y=x^2\), bo równanie \(x^2=-1\) nie ma rozwiązań rzeczywistych. Wykres paraboli leży na osi poziomej lub nad nią, więc nie sięga ujemnej wysokości.
Jeśli po podstawieniu rzeczywiście zostaje równanie kwadratowe, dodatnia delta daje dwie wartości wyznaczanej zmiennej, zerowa jedną, a ujemna żadnej. Dla prostej \(y=ax+b\) i paraboli \(y=Ax^2+Bx+C\), przy \(A\ne0\), oznacza to odpowiednio dwa, jeden albo zero punktów wspólnych.
Uważaj na prostą pionową \(x=c\): nie da się jej zapisać jako \(y=ax+b\). Wstaw wtedy znane \(x\) bezpośrednio do drugiego równania. Na przykład \(x=2\), \(y=x^2\) daje od razu \((2,4)\).
Przykład z okręgiem
Równanie \(x^2+y^2=5\) opisuje okrąg o środku \((0,0)\) i promieniu \(\sqrt5\). Rozwiążmy je razem z \(y=2x\). Zastępujemy całe \(y\): \(x^2+(2x)^2=5\), czyli \(x^2+4x^2=5\).
Stąd \(5x^2=5\), więc \(x=1\) lub \(x=-1\). Z \(y=2x\) otrzymujemy odpowiednio \(y=2\) lub \(y=-2\). Rozwiązania to \((1,2)\), \((-1,-2)\). Sprawdzenie okręgu daje w obu przypadkach \(1+4=5\), a sprawdzenie prostej potwierdza zgodne znaki współrzędnych.
Liczba punktów z reguły o delcie dotyczy przypadków, w których podstawienie prowadzi do równania kwadratowego. Dla ogólnego równania drugiego stopnia trzeba sprawdzić wynik uproszczenia: przykładowo \(y=0\), \(xy=0\) spełnia każda para \((x,0)\).
Typowy błąd i kontrola
Sprawdź nawiasy przy podstawieniu, wszystkie pierwiastki powstałego równania i przyporządkowanie wartości \(y\). Na koniec podstaw każdą parę do obu początkowych równań.