W zadaniu tekstowym równanie lub nierówność zapisuje zależność opisaną słowami. Najpierw ustalamy, co oznacza niewiadoma i jakie wartości może przyjmować, potem wykonujemy rachunki, a na końcu interpretujemy wynik w treści zadania.
Zacznij od wielkości, jednostki i ograniczeń
Zapis „niech \(x\) oznacza liczbę kupionych biletów” mówi więcej niż sama litera. Wiemy wtedy, że \(x\) jest nieujemną liczbą całkowitą. Jeśli \(x\) oznacza długość boku prostokąta w centymetrach, wymagamy \(x\gt0\), ale dopuszczamy ułamki.
Wypisz to, co jest dane, to, czego szukasz, i zależność łączącą te informacje. Nie każda liczba z treści musi wystąpić w równaniu, ale każda użyta liczba powinna mieć uzasadnienie. Nie zmieniaj znaczenia \(x\) w połowie rozwiązania.
Pilnuj jednostek. W zależności \(s=vt\), gdy prędkość jest w kilometrach na godzinę, czas musi być w godzinach. Przykładowo \(30\) minut to \(\frac12\) godziny, więc przy \(60\ \mathrm{km/h}\) droga wynosi \(60\cdot\frac12=30\ \mathrm{km}\).
Jak tłumaczyć słowa na działania?
| Fragment treści | Zapis, gdy wielkość początkowa to \(x\) |
|---|---|
| O \(5\) więcej | \(x+5\) |
| Trzy razy tyle | \(3x\) |
| Połowa tej wielkości | \(\frac{x}{2}\) |
| Dwie kolejne liczby całkowite | \(x,\ x+1\), przy \(x\in\mathbb Z\) |
| Co najwyżej \(50\) | Wskazana wielkość \(\le50\) |
| Co najmniej \(50\) | Wskazana wielkość \(\ge50\) |
„O trzy więcej” i „trzy razy tyle” to różne działania. Dla \(x=10\) dają odpowiednio \(13\) i \(30\). „Mniej niż” oznacza nierówność ostrą, natomiast „nie więcej niż” dopuszcza równość.
Przykład równania: wymiary prostokąta
Prostokąt ma obwód \(30\ \mathrm{cm}\), a długość jest o \(3\ \mathrm{cm}\) większa od szerokości. Oznaczmy szerokość przez \(x\), zatem długość wynosi \(x+3\). Obwód sumuje wszystkie cztery boki, a nie tylko dwa sąsiednie.
- Zapisz warunek wynikający z obwodu.\(2x+2(x+3)=30,\qquad x\gt0\)
- Rozmnoż nawias i połącz składniki z niewiadomą.\(4x+6=30\)
- Odejmij stałą, a potem podziel przez współczynnik przy \(x\).\(4x=24\ \Longrightarrow\ x=6\)
- Oblicz drugi wymiar, bo zadanie pyta o oba.\(x+3=9\)
- Sprawdź obwód i różnicę boków.\(2\cdot6+2\cdot9=30,\qquad9-6=3\)
Prostokąt ma wymiary \(6\ \mathrm{cm}\) i \(9\ \mathrm{cm}\). Obie długości są dodatnie. Liczba \(6\) bez jednostki i bez drugiego wymiaru nie byłaby pełną odpowiedzią na pytanie.
Przykład nierówności: ile sztuk mieści się w budżecie?
Masz \(50\ \mathrm{zł}\). Dostawa kosztuje jednorazowo \(8\ \mathrm{zł}\), a jeden zeszyt \(6\ \mathrm{zł}\). Szukamy maksymalnej liczby zeszytów w jednym zamówieniu. Niech \(n\) oznacza ich liczbę; jest to dodatnia liczba całkowita.
Łączny koszt to \(6n+8\). Nie może przekroczyć budżetu, więc \(6n+8\le50\). Odejmujemy \(8\): \(6n\le42\). Dzielimy przez dodatnie \(6\): \(n\le7\). Można zamówić najwyżej \(7\) zeszytów. Kontrola: siedem kosztuje \(50\ \mathrm{zł}\), osiem już \(56\ \mathrm{zł}\).
Gdyby budżet wynosił \(49\ \mathrm{zł}\), otrzymalibyśmy \(n\le\frac{41}{6}\). Maksymalna całkowita liczba to wtedy \(6\), a nie \(7\). Nie zaokrąglamy automatycznie do najbliższej liczby: wybrany wynik musi nadal spełniać nierówność.
Procenty oraz odrzucanie wyników bez sensu
Cena po obniżce o \(20\%\) wynosi \(160\ \mathrm{zł}\). Niech \(x\) będzie ceną początkową. Po obniżce zostaje \(80\%\) tej ceny, zatem \(0{,}8x=160\), czyli \(x=200\). Kontrola: \(20\%\) z \(200\) to \(40\), a \(200-40=160\). Dodanie \(20\%\) do ceny końcowej nie odwraca tej obniżki.
Jeśli prostokąt ma boki \(x\) i \(x+3\) oraz pole \(18\), zapisujemy \(x(x+3)=18\), przy \(x\gt0\). Równanie \(x^2+3x-18=0\) ma rozkład \((x+6)(x-3)=0\). Dostajemy \(x=-6\) lub \(x=3\), lecz ujemna długość odpada. Boki wynoszą \(3\) i \(6\), a ich iloczyn to \(18\).
Liczba ujemna nie jest jednak zawsze błędem: może opisywać temperaturę lub zmianę salda. O dopuszczalności wyniku decyduje znaczenie niewiadomej.
Typowy błąd i końcowa odpowiedź
Przeczytaj pytanie jeszcze raz. Czy szukano liczby osób, długości, ceny początkowej czy ceny końcowej? Sprawdź równanie, ograniczenia i jednostki, a potem odpowiedz zdaniem. Przy maksimum lub minimum upewnij się również, że następna niedopuszczalna wartość rzeczywiście łamie warunek.