Okrąg wpisany w trójkątPodstawa

Okrąg wpisany w trójkąt leży wewnątrz niego i jest styczny do wszystkich trzech boków. Jego promień jest jednakową prostopadłą odległością środka od każdego boku.

Pojęcia, od których zaczynamy

Dwusieczna dzieli kąt na dwie równe części. Każdy jej punkt wewnątrz kąta jest jednakowo odległy od obu ramion, jeśli odległości mierzymy prostopadle. Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest więc jednakowo odległy od wszystkich trzech boków. To środek okręgu wpisanego.

Promień oznaczamy małą literą \(r\). Nie jest on odległością środka od wierzchołka trójkąta. Prowadzimy go do punktu styczności na boku i zaznaczamy kąt prosty. Każdy niezdegenerowany trójkąt ma dokładnie jeden okrąg wpisany, a jego środek zawsze leży wewnątrz.

Zasady i wzory

Promień okręgu wpisanego jest odległością środka od każdego boku. Pole trójkąta można wyrazić przez promień \(r\) i półobwód \(s\) jako \(P=rs\).

• Środek okręgu wpisanego zawsze leży wewnątrz trójkąta.
• Promienie do punktów styczności są prostopadłe do boków.
• Odcinki styczne wychodzące z jednego wierzchołka są równe.

Jak czytać rysunek?

Połączenie środka z wierzchołkami rozcina trójkąt na trzy części. Ich podstawami są boki \(a,b,c\), a każda wysokość ma długość \(r\). Dodajemy pola: \(P=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}=\frac{(a+b+c)r}{2}\). Wprowadzamy \(s=\frac{a+b+c}{2}\), czyli półobwód. Otrzymujemy \(P=rs\).

Przykład krok po kroku

Trójkąt prostokątny ma boki 3, 4 i 5. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Dlaczego pole dzielimy przez półobwód? Po połączeniu środka okręgu wpisanego z wierzchołkami dostajemy trzy trójkąty o wspólnej wysokości \(r\). Ich pola sumują się do \(\frac{(a+b+c)r}{2}=sr\). Stąd \(r=\frac{P}{s}\), gdzie półobwód \(s\) oznacza połowę sumy długości boków.

1. Oblicz pole.\(P=\frac{3\cdot4}{2}=6\)
2. Oblicz półobwód.\(s=\frac{3+4+5}{2}=6\)
3. Wyznacz promień.\(r=\frac Ps=1\)

Typowy błąd

Dwusieczne i symetralne wyznaczają różne środki.

Dodatkowy przykład i kontrola

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(a,b\) i przeciwprostokątnej \(c\) można też użyć \(r=\frac{a+b-c}{2}\). Dla boków \(6,8,10\) daje to \(r=\frac{6+8-10}{2}=2\). Kontrola drugim sposobem: pole wynosi \(24\), półobwód \(12\), więc \(r=\frac{24}{12}=2\).

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień wynosi \(r=\frac{a\sqrt3}{6}\), czyli jedną trzecią wysokości. Jeśli zadanie podaje obwód, przed użyciem \(P=rs\) podziel go przez dwa. Pomylenie obwodu z półobwodem daje wynik dwa razy za mały przy obliczaniu promienia.