Okrąg wpisany w trójkąt

Wyobraź sobie trójkątny ogród, w którym chcesz umieścić idealnie okrągłą fontannę dotykającą wszystkich trzech boków. Taka fontanna przedstawia okrąg wpisany w trójkąt.

Konkret: jak wygląda okrąg wpisany

• Okrąg wpisany leży wewnątrz trójkąta.
• Jest styczny do każdego z trzech boków.
• Jego środek nazywamy środkiem okręgu wpisanego.
• Środek leży w punkcie przecięcia dwusiecznych wszystkich kątów trójkąta.

Reprezentacja: najważniejsze własności

Jeżeli I jest środkiem okręgu wpisanego, to odległość punktu I od każdego boku jest taka sama i równa promieniowi r.

Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do boków trójkąta.

Odcinki styczne poprowadzone z jednego wierzchołka mają równe długości.

Wzór na pole trójkąta

Jeżeli r jest promieniem okręgu wpisanego, a p oznacza połowę obwodu trójkąta, to:

P=p·r

Stąd można wyznaczyć promień:

r=P/p

Abstrakcja: skąd bierze się wzór P=p·r

Połącz środek okręgu wpisanego z trzema wierzchołkami trójkąta. Powstaną trzy mniejsze trójkąty. Każdy ma wysokość równą r, a jego podstawą jest jeden bok dużego trójkąta. Suma ich pól daje P=1/2·r·(a+b+c)=r·(a+b+c)/2=p·r.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-S-P: Dwusieczne dają środek, Styczności tworzą równe odcinki, Pole to p razy r. W pałacu pamięci trzy gigantyczne nożyczki-dwusieczne przecinają kąty na pół i spotykają się w centrum trójkątnego pokoju. W tym miejscu rośnie okrągła trampolina, która trzema sprężynami dotyka ścian pod kątem prostym.

Przykład krok po kroku: promień z pola

Trójkąt ma boki długości 5 cm, 5 cm i 6 cm oraz pole 12 cm². Oblicz promień okręgu wpisanego.

• Krok 1: Oblicz obwód: 5+5+6=16 cm.
• Krok 2: Oblicz połowę obwodu: p=16/2=8 cm.
• Krok 3: Zastosuj r=P/p.
• Krok 4: r=12/8=1,5 cm.
• Odpowiedź: promień wynosi 1,5 cm.

Przykład krok po kroku: pole z promienia

Obwód trójkąta wynosi 30 cm, a promień okręgu wpisanego 4 cm. Oblicz pole trójkąta.

• Krok 1: p=30/2=15 cm.
• Krok 2: P=p·r.
• Krok 3: P=15·4=60 cm².

Przykład krok po kroku: równe odcinki styczne

Okrąg wpisany dotyka boków AB i AC w punktach E i F. Wiadomo, że AE=7 cm. Oblicz AF.

• Krok 1: Odcinki styczne wychodzą z tego samego punktu A.
• Krok 2: AE=AF.
• Odpowiedź: AF=7 cm.

Przykład krok po kroku: wyznaczanie boku

W trójkącie ABC okrąg wpisany dotyka boków. Odcinki styczne z wierzchołków mają długości: z A po 4 cm, z B po 3 cm, z C po 5 cm. Oblicz długości boków.

• Krok 1: AB=4+3=7 cm.
• Krok 2: BC=3+5=8 cm.
• Krok 3: AC=4+5=9 cm.

Najczęstsze błędy

• Mylenie środka okręgu wpisanego z punktem przecięcia symetralnych boków.
• Używanie obwodu zamiast połowy obwodu we wzorze P=p·r.
• Zakładanie równości odcinków stycznych wychodzących z różnych wierzchołków.
• Zapominanie, że promień do punktu styczności jest prostopadły do boku.
• Mylenie okręgu wpisanego z opisanym.

Kontrola wyniku

• Środek okręgu wpisanego musi leżeć wewnątrz trójkąta.
• Odległości środka od wszystkich boków muszą być równe.
• Wzór P=p·r musi dawać jednostkę pola.
• Odcinki styczne z jednego wierzchołka powinny mieć równe długości.
• Promień musi być dodatni i mniejszy od wysokości trójkąta.

Najczęstsze pytania