Okrąg opisany na trójkącie

Wyobraź sobie trójkątną ramę wpisaną w idealnie okrągłą obręcz. Każdy wierzchołek trójkąta dotyka obręczy, więc okrąg przechodzi dokładnie przez trzy narożniki figury.

Konkret: czym jest okrąg opisany

• Okrąg opisany na trójkącie przechodzi przez wszystkie trzy jego wierzchołki.
• Jego środek oznaczamy zwykle literą O.
• Odległości OA, OB i OC są równe, ponieważ są promieniami tego samego okręgu.
• Punkt O jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta.

Reprezentacja: gdzie leży środek

• W trójkącie ostrokątnym środek leży wewnątrz trójkąta.
• W trójkącie prostokątnym środek leży w połowie przeciwprostokątnej.
• W trójkącie rozwartokątnym środek leży na zewnątrz trójkąta.

Symetralna boku to prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek. Każdy punkt leżący na symetralnej jest równo odległy od końców tego boku.

Abstrakcja: najważniejsze własności

Jeżeli O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, to:

OA=OB=OC=R

W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego spełnia:

R=c/2

gdzie c jest długością przeciwprostokątnej.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim W-S-R: Wierzchołki leżą na okręgu, Symetralne wyznaczają środek, Równe są promienie. W pałacu pamięci trzy ogromne wierzchołki w kształcie świecących gwiazd przebijają obręcz. Z boków wystrzeliwują symetralne jak laserowe miecze i zderzają się w punkcie O, a trzy identyczne gumowe promienie rozciągają się do gwiazd.

Przykład krok po kroku: trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 6 cm i 8 cm. Oblicz promień okręgu opisanego.

• Krok 1: Oblicz przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa.
• Krok 2: c²=6²+8²=36+64=100.
• Krok 3: c=10 cm.
• Krok 4: W trójkącie prostokątnym R=c/2.
• Krok 5: R=10/2=5 cm.
• Odpowiedź: promień wynosi 5 cm.

Przykład krok po kroku: równe promienie

W trójkącie ABC punkt O jest środkiem okręgu opisanego. Wiadomo, że OA=7 cm. Oblicz OB i OC.

• Krok 1: OA, OB i OC są promieniami tego samego okręgu.
• Krok 2: Wszystkie promienie są równe.
• Odpowiedź: OB=7 cm i OC=7 cm.

Przykład krok po kroku: położenie środka

Określ położenie środka okręgu opisanego na trójkącie o kątach 40°, 60° i 80°.

• Krok 1: Wszystkie kąty są mniejsze niż 90°.
• Krok 2: Trójkąt jest ostrokątny.
• Odpowiedź: środek okręgu opisanego leży wewnątrz trójkąta.

Przykład krok po kroku: średnica jako przeciwprostokątna

Trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg o promieniu 6 cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

• Krok 1: W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego.
• Krok 2: Średnica ma długość 2R.
• Krok 3: c=2·6=12 cm.

Najczęstsze błędy

• Mylenie symetralnych boków z dwusiecznymi kątów.
• Zakładanie, że środek zawsze leży wewnątrz trójkąta.
• Używanie wzoru R=c/2 w trójkącie, który nie jest prostokątny.
• Mylenie promienia z średnicą.
• Zapominanie, że okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki, a nie dotyka boków.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy OA=OB=OC.
• Środek powinien leżeć na wszystkich trzech symetralnych.
• W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna powinna być dwa razy dłuższa od promienia.
• Promień musi być dodatni.
• Położenie środka musi zgadzać się z rodzajem trójkąta.

Najczęstsze pytania