Okrąg opisany na trójkącie przechodzi przez wszystkie trzy jego wierzchołki. Środek tego okręgu jest jednakowo odległy od każdego wierzchołka.
Pojęcia, od których zaczynamy
Symetralna odcinka jest prostą prostopadłą do niego, przechodzącą przez jego środek. Każdy punkt symetralnej leży w tej samej odległości od obu końców odcinka. Przecinając symetralne dwóch boków trójkąta, znajdujemy punkt jednakowo odległy od wszystkich trzech wierzchołków. Trzecia symetralna też przez niego przechodzi.
Promień okręgu opisanego oznaczamy dużą literą \(R\). Prowadzimy go do wierzchołka trójkąta. To inny odcinek niż promień okręgu wpisanego, który biegnie prostopadle do boku. Każdy zwykły trójkąt ma jeden okrąg opisany, lecz jego środek nie zawsze znajduje się wewnątrz figury.
Zasady i wzory
Środek jest równo odległy od trzech wierzchołków. W trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej, dlatego promień \(R\) jest połową jej długości.
- W trójkącie ostrokątnym środek leży wewnątrz.
- W prostokątnym leży na przeciwprostokątnej.
- W rozwartokątnym leży na zewnątrz.
c oznacza przeciwprostokątną.
Jak czytać rysunek?
W narysowanym trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu. Jej środek \(O\) ma jednakową odległość od wszystkich wierzchołków. Zatem \(R=\frac c2\). Najpierw trzeba sprawdzić, że trójkąt jest prostokątny; nie dzielimy automatycznie najdłuższego boku dowolnego trójkąta przez dwa.
Przykład krok po kroku
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 6 i 8. Oblicz promień okręgu opisanego.
Dlaczego promień jest połową przeciwprostokątnej? W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej. Cała przeciwprostokątna jest więc średnicą tego okręgu. Najpierw wyznaczamy ją Pitagorasem, a potem dzielimy przez \(2\). Ta własność nie dotyczy dowolnego trójkąta.
- Oblicz przeciwprostokątną.\(c=\sqrt{6^2+8^2}=10\)
- Użyj własności trójkąta prostokątnego.\(R=\frac c2\)
- Podstaw.\(R=\frac{10}{2}=5\)
Typowy błąd
Położenie środka zależy od rodzaju trójkąta.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla dowolnego trójkąta przydaje się rozszerzone twierdzenie sinusów: \(\frac a{\sin\alpha}=2R\), gdzie \(a\) leży naprzeciw \(\alpha\). Jeśli \(a=6\) i \(\alpha=30^\circ\), to \(R=\frac{6}{2\cdot\frac12}=6\). Znając trzy boki i pole, możemy użyć \(R=\frac{abc}{4P}\).
W trójkącie równobocznym \(R=\frac{a\sqrt3}{3}\), czyli dwie trzecie wysokości. Dla boku \(6\) otrzymujemy \(R=2\sqrt3\). Środek leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego, na przeciwprostokątnej prostokątnego, a poza trójkątem rozwartokątnym. Położenie zewnętrzne nie jest błędem konstrukcji.