Pole wycinka koła obliczamy jako część pola całego koła wyznaczoną przez kąt środkowy. Kąt \(90^\circ\) daje ćwiartkę, a \(180^\circ\) połowę koła.
Pojęcia, od których zaczynamy
Wycinek jest ograniczony dwoma promieniami i łukiem pomiędzy ich końcami. Wyobraź sobie kawałek okrągłego tortu odcięty od środka. Kąt przy środku określa, jaką część tortu odcięto. Promień opisuje jego rozmiar.
Pełny obrót ma \(360^\circ\). Dzieląc kąt wycinka przez \(360^\circ\), dostajemy część całego koła, np. \(\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac16\). Następnie mnożymy tę część przez pole całego koła \(\pi r^2\). Nie zaczynamy od mnożenia kąta przez promień: to nie daje pola.
Zasady i wzory
Dla kąta \(\alpha\) mierzonego w stopniach bierzemy ułamek \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) pola \(\pi r^2\). Przy stałym promieniu pola wycinków są proporcjonalne do kątów.
- Używaj promienia, nie średnicy.
- Pole ma jednostkę kwadratową.
- Dla \(180^\circ\) otrzymujemy połowę koła, dla \(90^\circ\) — ćwiartkę.
Wzór dotyczy kąta α podanego w stopniach.
Jak czytać rysunek?
Zacieniowany fragment jest wycinkiem o kącie \(60^\circ\). Sześć takich fragmentów wypełniłoby całe koło. Dwa odcinki brzegowe są promieniami, więc mają tę samą długość. Łuk jest zakrzywionym brzegiem. Pole dotyczy całego zacieniowanego wnętrza, nie długości jego krawędzi.
Przykład krok po kroku
Oblicz pole wycinka o promieniu 6 cm i kącie \(60^\circ\).
Wycinek to część całego koła. Kąt \(60^\circ\) stanowi \(\frac{60}{360}=\frac{1}{6}\) pełnego obrotu. Szukane pole jest więc jedną szóstą pola koła o tym samym promieniu. Ten ułamek mnożymy przez \(\pi r^2\), a nie przez długość okręgu.
- Podstaw do wzoru.\(P=\frac{60^\circ}{360^\circ}\pi\cdot6^2\)
- Uprość ułamek i potęgę.\(P=\frac16\cdot36\pi\)
- Oblicz.\(P=6\pi\text{ cm}^2\)
Typowy błąd
Pełne koło odpowiada kątowi \(360^\circ\), nie \(180^\circ\).
Dodatkowy przykład i kontrola
Jeżeli promień wynosi \(4\), a pole wycinka \(4\pi\), pole całego koła wynosi \(16\pi\). Udział wycinka to \(\frac{4\pi}{16\pi}=\frac14\), więc jego kąt ma \(90^\circ\). Ten sposób pozwala znaleźć kąt bez zgadywania i pokazuje, jak odwrócić wzór.
Wycinek o kącie większym niż \(180^\circ\) zajmuje więcej niż pół koła; np. \(270^\circ\) oznacza trzy czwarte. Nie myl wycinka z odcinkiem koła, który ograniczają cięciwa i łuk. W przypadku mniejszego łuku pole odcinka można wyznaczyć przez odjęcie odpowiedniego trójkąta od wycinka. To inny obszar niż sam wycinek.