Pole wycinka koła

Wyobraź sobie okrągłą pizzę pokrojoną promieniami wychodzącymi ze środka. Każdy kawałek ma kształt wycinka koła, a jego wielkość zależy od kąta środkowego.

Konkret: czym jest wycinek koła

• Wycinek koła jest częścią koła ograniczoną przez dwa promienie i łuk.
• Jego wielkość opisuje kąt środkowy α.
• Pełne koło odpowiada kątowi 360°.
• Jeżeli kąt jest mniejszy, pole wycinka stanowi odpowiedni ułamek pola całego koła.

Reprezentacja: zasada proporcji

Jeżeli kąt środkowy ma miarę α, to wycinek zajmuje część α/360 całego koła.

Pole całego koła wynosi:

P=πr²

Dlatego pole wycinka wynosi:

P_w=α/360°·πr²

Abstrakcja: jak przekształcać wzór

• Gdy szukasz pola wycinka, podstawiasz α i r.
• Gdy znasz pole wycinka, możesz wyznaczyć kąt α.
• Gdy znasz pole wycinka i kąt, możesz wyznaczyć promień.
• Dla połowy koła α=180°, dla ćwiartki α=90°, a dla jednej szóstej α=60°.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-U-P: Kąt wybiera część, Ułamek to α/360, Pomnóż przez πr². W pałacu pamięci gigantyczna pizza obraca się o 360°. Mały kąt α zamienia się w świecący nóż, który odcina dokładnie taki ułamek pizzy. Im szerzej rozchylają się promienie-noże, tym większy kawałek eksploduje serem.

Przykład krok po kroku: pole wycinka

Oblicz pole wycinka koła o promieniu 6 cm i kącie środkowym 60°.

• Krok 1: Zapisz wzór P_w=α/360°·πr².
• Krok 2: Podstaw α=60° i r=6 cm.
• Krok 3: P_w=60/360·π·6².
• Krok 4: 60/360=1/6, a 6²=36.
• Krok 5: P_w=1/6·36π=6π cm².
• Odpowiedź: pole wynosi 6π cm².

Przykład krok po kroku: ćwiartka koła

Koło ma promień 8 cm. Oblicz pole wycinka o kącie 90°.

• Krok 1: 90° to jedna czwarta pełnego kąta.
• Krok 2: Pole koła wynosi π·8²=64π.
• Krok 3: Jedna czwarta z 64π to 16π.
• Odpowiedź: 16π cm².

Przykład krok po kroku: wyznaczanie kąta

Wycinek koła o promieniu 10 cm ma pole 25π cm². Oblicz kąt środkowy.

• Krok 1: Pole całego koła wynosi π·10²=100π.
• Krok 2: Wycinek zajmuje 25π/100π=1/4 koła.
• Krok 3: Jedna czwarta z 360° to 90°.
• Odpowiedź: kąt ma 90°.

Przykład krok po kroku: porównanie wycinków

Dwa wycinki tego samego koła mają kąty 40° i 100°. Ile razy większe jest pole drugiego wycinka?

• Krok 1: Przy tym samym promieniu pola są proporcjonalne do kątów.
• Krok 2: 100/40=2,5.
• Odpowiedź: drugie pole jest 2,5 raza większe.

Najczęstsze błędy

• Dzielenie przez 180 zamiast przez 360.
• Zapominanie o potędze przy promieniu.
• Mylenie pola wycinka z długością łuku.
• Podstawianie średnicy zamiast promienia.
• Pomijanie jednostki kwadratowej.

Kontrola wyniku

• Pole wycinka musi być dodatnie.
• Dla kąta mniejszego niż 360° pole wycinka musi być mniejsze od pola całego koła.
• Dla α=360° wynik powinien dać πr².
• Dla α=180° wynik powinien być połową pola koła.
• Jednostka pola musi być kwadratowa.

Najczęstsze pytania