Długość łuku

Wyobraź sobie rower jadący po brzegu okrągłego ronda. Jeśli przejedzie tylko część pełnego okręgu, pokonana droga jest długością łuku.

Konkret: czym jest łuk

• Łuk jest fragmentem okręgu ograniczonym przez dwa punkty.
• Długość całego okręgu wynosi 2πr.
• Pełnemu okręgowi odpowiada kąt środkowy 360°.
• Łuk o kącie α stanowi część α/360 całego obwodu.

Reprezentacja: część obwodu

Jeżeli kąt środkowy ma miarę α, to długość łuku obliczamy ze wzoru:

l=α/360°·2πr

Można go także zapisać w uproszczonej postaci:

l=απr/180°

Oba wzory oznaczają dokładnie to samo.

Abstrakcja: ważne szczególne przypadki

• Dla α=360° otrzymujemy cały obwód 2πr.
• Dla α=180° łuk jest półokręgiem i ma długość πr.
• Dla α=90° łuk ma długość πr/2.
• Przy tym samym promieniu długości łuków są proporcjonalne do kątów środkowych.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-C-O: Kąt wybiera część, Część to α/360, Obwód wynosi 2πr. W pałacu pamięci gigantyczne rondo ma obwód zrobiony z gumowej taśmy 2πr. Świecący kąt α działa jak nożyczki i odcina dokładnie odpowiednią część taśmy. Im większy kąt, tym dłuższy kawałek wyskakuje w powietrze.

Przykład krok po kroku: obliczanie długości łuku

Oblicz długość łuku koła o promieniu 9 cm i kącie środkowym 80°.

• Krok 1: Zapisz wzór l=α/360°·2πr.
• Krok 2: Podstaw α=80° i r=9 cm.
• Krok 3: l=80/360·2π·9.
• Krok 4: 80/360=2/9, a 2π·9=18π.
• Krok 5: l=2/9·18π=4π cm.
• Odpowiedź: długość łuku wynosi 4π cm.

Przykład krok po kroku: ćwierćokrąg

Promień okręgu wynosi 6 cm. Oblicz długość łuku odpowiadającego kątowi 90°.

• Krok 1: 90° stanowi jedną czwartą z 360°.
• Krok 2: Obwód koła wynosi 2π·6=12π cm.
• Krok 3: Jedna czwarta z 12π to 3π cm.
• Odpowiedź: łuk ma długość 3π cm.

Przykład krok po kroku: wyznaczanie kąta

Łuk w kole o promieniu 10 cm ma długość 5π cm. Oblicz odpowiadający mu kąt środkowy.

• Krok 1: Obwód całego koła wynosi 2π·10=20π cm.
• Krok 2: Łuk stanowi 5π/20π=1/4 obwodu.
• Krok 3: Jedna czwarta z 360° to 90°.
• Odpowiedź: kąt ma 90°.

Przykład krok po kroku: wyznaczanie promienia

Łuk odpowiadający kątowi 60° ma długość 4π cm. Oblicz promień okręgu.

• Krok 1: Zapisz 4π=60/360·2πr.
• Krok 2: 60/360=1/6, więc 4π=1/6·2πr.
• Krok 3: 4π=πr/3.
• Krok 4: Pomnóż obie strony przez 3: 12π=πr.
• Krok 5: Podziel przez π: r=12 cm.

Najczęstsze błędy

• Używanie pola koła πr² zamiast obwodu 2πr.
• Dzielenie kąta przez 180 zamiast przez 360 w podstawowym wzorze.
• Podstawianie średnicy w miejsce promienia.
• Mylenie długości łuku z polem wycinka.
• Zapisywanie jednostek kwadratowych zamiast jednostek długości.

Kontrola wyniku

• Długość łuku musi być dodatnia.
• Dla kąta mniejszego niż 360° łuk powinien być krótszy od całego obwodu.
• Dla α=180° wynik powinien wynosić πr.
• Dla α=360° wynik powinien wynosić 2πr.
• Jednostka wyniku nie jest kwadratowa.

Najczęstsze pytania