Długość łuku jest długością fragmentu okręgu. Obliczamy ją, biorąc odpowiednią część obwodu \(2\pi r\), zgodną z udziałem kąta środkowego w pełnym obrocie.
Pojęcia, od których zaczynamy
Dwa różne punkty okręgu wyznaczają dwa łuki. Trzeba ustalić, o który z nich chodzi: mniejszy czy większy. Kąt środkowy i wyróżnienie na rysunku pomagają wybrać właściwą drogę po brzegu. Cięciwa prowadzi między tymi samymi końcami prostym odcinkiem, więc nie jest tym samym co łuk.
Najpierw oblicz obwód całego okręgu, potem udział kąta. Dla ćwiartki koła bierzemy jedną czwartą obwodu. Jednostką wyniku jest jednostka długości, np. centymetr. Centymetr kwadratowy wskazywałby pole, a nie długość linii.
Zasady i wzory
Podstawą jest obwód \(2\pi r\). Dla kąta \(\alpha\) w stopniach mnożymy go przez \(\frac{\alpha}{360^\circ}\). Łuk nie obejmuje promieni ani średnicy.
- Długość łuku ma jednostkę liniową.
- Półokrąg ma długość \(\pi r\).
- Obwód półkola to łuk plus średnica — to inne pytanie.
Obie postacie wzoru są równoważne.
Jak czytać rysunek?
Wyróżniony fragment okręgu jest łukiem. Promienie pokazują kąt środkowy, ale nie wchodzą do długości łuku. Gdy pytanie dotyczy obwodu wycinka, trzeba je doliczyć. Dla zwykłego wycinka o kącie mniejszym niż \(360^\circ\) jego obwód wynosi \(l+2r\).
Przykład krok po kroku
Oblicz długość łuku o promieniu 9 cm i kącie \(80^\circ\).
Łuk to część obwodu. Najpierw ustalamy udział kąta w pełnym obrocie, czyli \(\frac{80}{360}=\frac{2}{9}\). Potem bierzemy taki sam ułamek długości całego okręgu \(2\pi r\). Nie używamy wzoru na pole, bo szukamy długości linii.
- Podstaw do wzoru.\(l=\frac{80^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot9\)
- Uprość.\(l=\frac29\cdot18\pi\)
- Oblicz.\(l=4\pi\text{ cm}\)
Typowy błąd
Długość łuku nie jest polem wycinka.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla promienia \(6\) i kąta \(120^\circ\) otrzymujemy \(l=\frac13\cdot12\pi=4\pi\). Obwód tego wycinka wynosi jednak \(4\pi+12\). Nie dodajemy dwóch promieni, jeśli polecenie pyta wyłącznie o łuk.
Jeśli łuk ma długość \(3\pi\), a promień wynosi \(6\), cały okrąg ma długość \(12\pi\). Łuk stanowi \(\frac14\) całości, więc odpowiada mu kąt \(90^\circ\). Dla tego samego kąta podwojenie promienia podwaja długość łuku. Podwojenie kąta przy stałym promieniu również podwaja łuk, o ile rozpatrujemy odpowiedni fragment jednego pełnego okręgu.