Styczna do okręgu jest prostą mającą z nim dokładnie jeden punkt wspólny. W tym punkcie tworzy kąt prosty z promieniem okręgu.
Pojęcia, od których zaczynamy
Okrąg jest samym brzegiem koła. Prosta jest nieskończona, nawet jeśli rysunek pokazuje tylko jej fragment. Dlatego sprawdzamy liczbę przecięć całej prostej z okręgiem. Jedno przecięcie oznacza styczną, dwa sieczną, a brak przecięć prostą rozłączną z okręgiem.
Punkt wspólny stycznej i okręgu nazywamy punktem styczności. Połącz go ze środkiem okręgu. Otrzymany promień jest prostopadły do stycznej. W zadaniu ta własność pozwala zaznaczyć kąt prosty i zastosować twierdzenie Pitagorasa, nawet gdy kąt nie został podany liczbowo.
Zasady i wzory
Jeżeli \(T\) jest punktem styczności, to \(OT\perp l\). Dwa odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu zewnętrznego mają równe długości.
- Sieczna ma dwa punkty wspólne z okręgiem.
- Odległość środka od stycznej jest równa promieniowi.
- Równość odcinków stycznych często tworzy trójkąt równoramienny.
A i B są punktami styczności prostych wychodzących z tego samego punktu P.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku \(O\) jest środkiem, \(T\) punktem styczności, a \(P\) punktem poza kołem. Odcinek \(OT\) jest promieniem. Trójkąt \(OTP\) jest prostokątny w \(T\), więc przeciwprostokątną jest \(OP\), nie odcinek styczny \(PT\). Wzór przyjmuje postać \(PT^2=OP^2-r^2\).
Przykład krok po kroku
Z punktu P poprowadzono styczne PA i PB. Jeśli \(PA=7\), oblicz \(PB\).
- Rozpoznaj dwa odcinki styczne z jednego punktu.\(PA=PB\)
- Podstaw znaną długość.\(7=PB\)
- Podaj wynik.\(PB=7\)
Typowy błąd
Dwa punkty wspólne oznaczają sieczną, nie styczną.
Dodatkowy przykład i kontrola
Jeśli \(OP=13\) i \(r=5\), to \(PT^2=13^2-5^2=169-25=144\). Długość jest dodatnia, zatem \(PT=12\). Kontrola: \(5^2+12^2=13^2\). Dwa odcinki styczne z tego samego punktu \(P\) są równe, więc drugi również ma długość \(12\).
Z punktu na okręgu można poprowadzić jedną styczną, z punktu zewnętrznego dwie, a z punktu wewnątrz koła żadnej. Równość odcinków stycznych wymaga wspólnego punktu zewnętrznego. Nie oznacza, że dowolne odcinki na różnych stycznych mają jednakowe długości.