Styczna do okręgu

Wyobraź sobie koło roweru dotykające prostej drogi. W jednej chwili opona styka się z nawierzchnią dokładnie w jednym punkcie. Ta droga zachowuje się jak styczna do okręgu.

Konkret: czym jest styczna

• Styczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.
• Ten punkt nazywamy punktem styczności.
• Promień poprowadzony do punktu styczności jest zawsze prostopadły do stycznej.

Reprezentacja: najważniejsza własność

Jeżeli prosta k jest styczna do okręgu w punkcie T, a O jest środkiem okręgu, to:

OT ⟂ k

Oznacza to, że kąt między promieniem OT a styczną ma 90°.

Dwie styczne z jednego punktu

Jeżeli z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzimy dwie styczne PA i PB, to ich długości są równe:

PA=PB

Ta własność często prowadzi do trójkątów prostokątnych i równoramiennych.

Abstrakcja: jak rozpoznawać zadania

• Jeżeli widzisz promień dochodzący do punktu styczności, od razu zaznacz kąt 90°.
• Jeżeli z jednego punktu wychodzą dwie styczne, oznacz ich odcinki jako równe.
• Jeżeli znasz odległość punktu od środka i promień, zwykle stosujesz twierdzenie Pitagorasa.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-P-R: Dotyk jeden, Prostopadły promień, Równe styczne. W pałacu pamięci ogromne koło dotyka podłogi jednym świecącym punktem T. Ze środka koła wystrzeliwuje sztywny promień jak laser i wbija się w podłogę pod kątem prostym. Z boku stoją dwa identyczne roboty-styczne, ciągnące równe liny od jednego punktu.

Przykład krok po kroku: kąt przy stycznej

Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie T. O jest środkiem okręgu. Oblicz kąt między OT i k.

• Krok 1: Rozpoznaj promień poprowadzony do punktu styczności.
• Krok 2: Zastosuj własność stycznej.
• Krok 3: OT jest prostopadły do k.
• Odpowiedź: kąt ma 90°.

Przykład krok po kroku: długość stycznej

Punkt P leży 13 cm od środka okręgu O. Promień okręgu ma 5 cm. Oblicz długość stycznej PT.

• Krok 1: OT jest promieniem do punktu styczności, więc OT ⟂ PT.
• Krok 2: Trójkąt OPT jest prostokątny.
• Krok 3: OP²=OT²+PT².
• Krok 4: 13²=5²+PT².
• Krok 5: 169=25+PT², więc PT²=144.
• Krok 6: PT=12 cm.

Przykład krok po kroku: dwie styczne

Z punktu P poprowadzono styczne PA i PB. Wiadomo, że PA=8 cm. Oblicz PB.

• Krok 1: Styczne poprowadzone z jednego punktu mają równe długości.
• Krok 2: PB=PA.
• Odpowiedź: PB=8 cm.

Przykład krok po kroku: obwód figury

Z punktu P poprowadzono styczne PA i PB do okręgu. PA=7 cm, a odcinek AB ma 10 cm. Oblicz obwód trójkąta PAB.

• Krok 1: PA=PB, więc PB=7 cm.
• Krok 2: Obwód to PA+PB+AB.
• Krok 3: 7+7+10=24 cm.
• Odpowiedź: obwód wynosi 24 cm.

Najczęstsze błędy

• Zakładanie, że każda prosta przecinająca okrąg jest styczna.
• Zapominanie o kącie prostym między promieniem a styczną.
• Stosowanie równości odcinków stycznych wychodzących z różnych punktów.
• Mylenie punktu styczności z dowolnym punktem okręgu.
• Błędne wybieranie przeciwprostokątnej w twierdzeniu Pitagorasa.

Kontrola wyniku

• Styczna ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.
• Promień do punktu styczności tworzy kąt 90°.
• Odcinki stycznych z jednego punktu muszą być równe.
• W trójkącie ze środkiem okręgu przeciwprostokątną jest odcinek od środka do punktu zewnętrznego.
• Długości odcinków muszą być dodatnie.

Najczęstsze pytania