Kąt środkowy i kąt wpisany

Wyobraź sobie tarczę zegara. Gdy połączysz środek zegara z dwiema godzinami, powstaje kąt środkowy. Gdy ramiona kąta wychodzą z punktu leżącego na brzegu tarczy, otrzymujesz kąt wpisany.

Konkret: dwa sposoby patrzenia na ten sam łuk

• Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu.
• Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu.
• Oba kąty mogą być oparte na tym samym łuku, czyli wskazywać ten sam fragment okręgu.

Reprezentacja: najważniejsza zależność

Jeżeli kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku, to:

kąt środkowy = 2 · kąt wpisany

oraz równoważnie:

kąt wpisany = 1/2 · kąt środkowy

Dodatkowe własności

• Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.
• Kąt wpisany oparty na średnicy ma zawsze 90°.
• Miara kąta środkowego jest równa mierze odpowiadającego mu łuku.
• Jeżeli kąt wpisany opiera się na łuku większym, jego miara nadal jest połową miary tego łuku.

Abstrakcja: jak rozpoznawać właściwy łuk

Najpierw zaznacz końce ramion kąta na okręgu. Te dwa punkty wyznaczają łuk, na którym oparty jest kąt. Następnie sprawdź, czy porównywany kąt wskazuje dokładnie ten sam łuk.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim Ł-W-P: Łuk znajdź, Wierzchołek sprawdź, Podwój albo podziel przez 2. W pałacu pamięci widzisz wielki zegar. W środku stoi olbrzym, który rozciąga kąt środkowy do podwójnego rozmiaru. Na brzegu siedzi mały skrzat z kątem wpisanym dokładnie dwa razy mniejszym. Jeśli łuk jest ten sam, olbrzym zawsze ma dwa razy większy kąt niż skrzat.

Przykład krok po kroku: z kąta środkowego

Kąt środkowy oparty na pewnym łuku ma 120°. Oblicz kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

• Krok 1: Zapisz zależność: kąt wpisany = 1/2 · kąt środkowy.
• Krok 2: Podstaw 120°.
• Krok 3: 1/2 · 120° = 60°.
• Odpowiedź: kąt wpisany ma 60°.

Przykład krok po kroku: z kąta wpisanego

Kąt wpisany ma 35°. Oblicz kąt środkowy oparty na tym samym łuku.

• Krok 1: Kąt środkowy jest dwa razy większy.
• Krok 2: 2 · 35° = 70°.
• Odpowiedź: kąt środkowy ma 70°.

Przykład krok po kroku: kąt oparty na średnicy

Punkty A i B są końcami średnicy okręgu, a punkt C leży na okręgu. Oblicz kąt ACB.

• Krok 1: Kąt ACB jest kątem wpisanym opartym na średnicy AB.
• Krok 2: Odpowiadający mu kąt środkowy ma 180°.
• Krok 3: Kąt wpisany ma połowę tej miary.
• Krok 4: 180°/2=90°.
• Odpowiedź: kąt ACB ma 90°.

Przykład krok po kroku: kąty wpisane na tym samym łuku

Dwa kąty wpisane są oparte na tym samym łuku. Jeden ma 48°. Oblicz drugi.

• Krok 1: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
• Krok 2: Drugi kąt również ma 48°.

Przykład krok po kroku: wyznacz łuk

Kąt wpisany oparty na łuku AB ma 52°. Oblicz miarę łuku AB.

• Krok 1: Miara łuku jest równa mierze kąta środkowego.
• Krok 2: Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.
• Krok 3: 2 · 52° = 104°.
• Odpowiedź: łuk AB ma 104°.

Najczęstsze błędy

• Podwajanie niewłaściwego kąta.
• Porównywanie kątów opartych na różnych łukach.
• Mylenie wierzchołka w środku z wierzchołkiem na okręgu.
• Zapominanie, że kąt wpisany oparty na średnicy ma 90°.
• Przyjmowanie, że każdy kąt wpisany jest połową dowolnego kąta środkowego.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy oba kąty są oparte na tym samym łuku.
• Kąt środkowy powinien być dwa razy większy od wpisanego.
• Kąt wpisany oparty na średnicy musi mieć 90°.
• Kąty wpisane oparte na tym samym łuku muszą być równe.
• Miara kąta nie może być ujemna ani większa niż 360°.

Najczęstsze pytania