Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, a kąt wpisany — na okręgu; dla tego samego łuku ich miary są powiązane w stosunku \(2:1\).
Pojęcia, od których zaczynamy
Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, a jego ramiona przechodzą przez dwa punkty okręgu. Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu; jego ramiona również przechodzą przez dwa inne punkty okręgu. Aby rozpoznać rodzaj kąta, najpierw znajdź jego wierzchołek. Nie decyduje to, czy kąt wygląda na mały czy duży.
Kąt wpisany opiera się na łuku między końcami jego ramion, który nie zawiera wierzchołka kąta. Odpowiadający mu kąt środkowy obejmuje właśnie ten łuk. Może to być także kąt środkowy większy niż \(180^\circ\). Gdy oba kąty opierają się na tym samym łuku, kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.
Zasady i wzory
Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma połowę miary kąta środkowego. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, a kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
- Zawsze sprawdź, czy kąty opierają się na tym samym łuku.
- Kąt środkowy jest dwa razy większy od odpowiadającego wpisanego.
- Średnica wyznacza półokrąg o mierze \(180^\circ\).
Równość obowiązuje tylko dla kątów opartych na tym samym łuku.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku \(O\) jest środkiem, a \(A,B,C\) leżą na okręgu. Kąt \(AOB\) jest środkowy i ma \(90^\circ\). Kąt \(ACB\) jest wpisany i obejmuje ten sam zaznaczony łuk \(AB\), dlatego ma \(45^\circ\). Wierzchołek \(C\) leży poza zaznaczonym łukiem. Wskazanie łuku chroni przed wybraniem niewłaściwego kąta środkowego.
Przykład krok po kroku
Kąt środkowy oparty na łuku AB ma \(140^\circ\). Oblicz kąt wpisany oparty na tym samym łuku.
- Zastosuj zależność.\(\beta=\frac12\alpha\)
- Podstaw miarę kąta środkowego.\(\beta=\frac12\cdot140^\circ\)
- Oblicz.\(\beta=70^\circ\)
Typowy błąd
Wspólny okrąg nie wystarcza — potrzebny jest wspólny łuk.
Dodatkowy przykład i kontrola
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Gdy wierzchołki leżą po przeciwnych stronach wspólnej cięciwy, kąty wpisane opierają się na dopełniających łukach i sumują się do \(180^\circ\). Sama zgodność końców cięciwy nie gwarantuje więc równości kątów.
Kąt wpisany oparty na średnicy ma \(90^\circ\), ponieważ odpowiedni łuk jest półokręgiem, a kąt środkowy ma \(180^\circ\). To pozwala zaznaczyć kąt prosty w trójkącie, którego jeden bok jest średnicą, a trzeci wierzchołek leży na okręgu poza końcami średnicy. Jeśli natomiast łuk odpowiada kątowi środkowemu \(240^\circ\), wpisany oparty na tym łuku ma \(120^\circ\), a nie \(60^\circ\).