Długość okręgu opisuje jego obwód, a pole koła — powierzchnię wnętrza; oba wzory zależą od promienia, ale w różnym stopniu.
Pojęcia, od których zaczynamy
Długość okręgu mierzy obwód, czyli drogę wzdłuż brzegu. Pole koła mierzy powierzchnię wnętrza wraz z brzegiem. Wzór na długość zawiera promień w pierwszej potędze, a wzór na pole w drugiej: \(L=2\pi r\), \(P=\pi r^2\). Dlatego długość podajemy np. w centymetrach, a pole w centymetrach kwadratowych.
Liczba \(\pi\) jest stałym stosunkiem długości okręgu do jego średnicy. Ponieważ \(d=2r\), można też zapisać \(L=\pi d\). Przybliżenie \(\pi\approx3{,}14\) stosuj dopiero wtedy, gdy zadanie wymaga wyniku przybliżonego. Zapis \(10\pi\) jest dokładniejszy niż jego zaokrąglenie dziesiętne.
Zasady i wzory
Długość rośnie proporcjonalnie do \(r\), natomiast pole do \(r^2\). Podwojenie promienia podwaja obwód, lecz zwiększa pole czterokrotnie.
- Jeśli podano średnicę, najpierw oblicz promień.
- Zachowaj \(\pi\) w wyniku dokładnym.
- Długość ma jednostkę liniową, pole — kwadratową.
L oznacza długość okręgu, P — pole koła.
Jak czytać rysunek?
Po podwojeniu promienia każdy odcinek skaluje się dwukrotnie, więc długość okręgu też rośnie dwukrotnie. Pole rośnie czterokrotnie, bo \((2r)^2=4r^2\). Dla promieni \(2\) i \(4\) długości wynoszą \(4\pi\) i \(8\pi\), a pola \(4\pi\) i \(16\pi\). Jednostki pola i długości są różne, nawet gdy wartości liczbowe przypadkiem się zgadzają.
Przykład krok po kroku
Koło ma średnicę 10 cm. Oblicz długość okręgu i pole koła.
Średnica to nie promień. Jeśli zadanie podaje średnicę, najpierw dzielimy ją przez \(2\). Długość okręgu mierzy obwód, więc ma jednostkę długości. Pole mierzy powierzchnię wewnątrz, dlatego ma jednostkę kwadratową i we wzorze występuje \(r^2\).
- Wyznacz promień.\(r=\frac{10}{2}=5\text{ cm}\)
- Oblicz długość.\(L=2\pi\cdot5=10\pi\text{ cm}\)
- Oblicz pole.\(P=\pi\cdot5^2=25\pi\text{ cm}^2\)
Typowy błąd
Wzory na obwód i pole nie są zamienne.
Dodatkowy przykład i kontrola
Można odwrócić obliczenia. Gdy \(L=18\pi\), mamy \(2\pi r=18\pi\). Dzielimy obie strony przez \(2\pi\) i otrzymujemy \(r=9\). Gdy \(P=49\pi\), dzielimy równanie \(\pi r^2=49\pi\) przez \(\pi\), więc \(r^2=49\). Promień jest dodatni, dlatego \(r=7\).
Dla wycinka o kącie środkowym \(\alpha\) używamy części \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) całego koła. Pole wycinka wynosi \(\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2\), a długość jego łuku \(\frac{\alpha}{360^\circ}2\pi r\). Obwód wycinka zawiera dodatkowo dwa promienie. Dla ćwiartki koła o promieniu \(4\) łuk ma długość \(2\pi\), lecz obwód wycinka wynosi \(2\pi+8\).