Liczba całkowita jest podzielna przez daną niezerową liczbę całkowitą, jeśli dzielenie daje wynik całkowity bez reszty. Na przykład dwanaście jest podzielne przez trzy, bo można je podzielić na cztery grupy po trzy. Podzielność pomaga dzielić na równe części, skracać ułamki i szukać wspólnych cykli.
1. Dzielnik, wielokrotność i reszta
Ponieważ \(12=3\cdot4\), liczba trzy jest dzielnikiem dwunastu, a dwanaście wielokrotnością trzech. Zapis \(3\mid12\) czytamy „trzy dzieli dwanaście”. Nie oznacza on ułamka trzy dwunaste. Dla niezerowego a zapis \(a\mid b\) znaczy, że \(b=ak\) dla pewnej liczby całkowitej k.
Dzielenie z resztą zapisuje, ile pełnych grup można utworzyć i co pozostaje: \(14=3\cdot4+2\). Mamy cztery grupy po trzy i resztę dwa, więc czternaście nie jest podzielne przez trzy. Przy dodatnim dzielniku reszta jest nieujemna i mniejsza od dzielnika.
Własność działa też dla liczb ujemnych: \(-12=3\cdot(-4)\). Przy szukaniu największego wspólnego dzielnika używamy zwykle dodatnich dzielników wartości bezwzględnych. Zero jest podzielne przez każdą niezerową liczbę całkowitą, bo \(0=a\cdot0\), ale nie wykonujemy dzielenia przez zero.
2. Cechy podzielności: co sprawdzać w zapisie?
- Przez dwa: ostatnia cyfra jest zerem, dwójką, czwórką, szóstką lub ósemką.
- Przez trzy: suma cyfr jest podzielna przez trzy.
- Przez cztery: liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez cztery.
- Przez pięć: ostatnia cyfra to zero lub pięć.
- Przez dziewięć: suma cyfr jest podzielna przez dziewięć.
- Przez dziesięć: ostatnia cyfra to zero.
Liczba \(234\) jest podzielna przez dziewięć, bo suma cyfr \(2+3+4=9\) jest podzielna przez dziewięć. Jest też podzielna przez trzy i przez dwa. Liczba \(316\) jest podzielna przez cztery, ponieważ końcówka szesnaście dzieli się przez cztery. Nie sprawdzamy tutaj sumy cyfr.
Podzielność przez sześć wymaga jednocześnie podzielności przez dwa i trzy. Samo spełnienie jednego warunku nie wystarczy. Dla liczby ujemnej cechy stosujemy do jej zapisu bez znaku, bo zmiana znaku nie zmienia podzielności.
3. Liczby pierwsze i rozkład na czynniki
Liczba pierwsza jest naturalna, większa od jedności i ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: jeden oraz samą siebie. Przykłady to dwa, trzy, pięć i siedem. Jedynka nie jest pierwsza, bo ma tylko jeden dodatni dzielnik. Liczba złożona, na przykład dwanaście, ma więcej niż dwa.
Rozkład na czynniki pierwsze polega na przedstawieniu liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Dla \(84\) dzielimy kolejno: \(84:2=42\), \(42:2=21\), \(21:3=7\), \(7:7=1\). Zapisujemy użyte dzielniki: \(84=2\cdot2\cdot3\cdot7=2^2\cdot3\cdot7\). Potęga oznacza, ile razy czynnik się powtarza.
Rozkład \(84=4\cdot21\) jest poprawnym iloczynem, ale nie rozkładem na czynniki pierwsze, ponieważ cztery i dwadzieścia jeden są złożone. Aby sprawdzić, czy niewielka liczba jest pierwsza, wystarczy sprawdzić dzielniki pierwsze nie większe od jej pierwiastka: gdyby oba czynniki były większe, ich iloczyn przekroczyłby badaną liczbę.
4. NWD i NWW: dwa różne pytania
NWD to największy wspólny dzielnik. Dla dwunastu i osiemnastu wspólne dodatnie dzielniki to jeden, dwa, trzy i sześć, więc \(\operatorname{NWD}(12,18)=6\). NWW to najmniejsza dodatnia wspólna wielokrotność. Wielokrotności dwunastu zaczynają się od dwunastu, dwudziestu czterech i trzydziestu sześciu; osiemnastu od osiemnastu i trzydziestu sześciu. Pierwsza wspólna to trzydzieści sześć.
Dla większych liczb korzystamy z rozkładów: \(72=2^3\cdot3^2\), \(120=2^3\cdot3\cdot5\). Do NWD bierzemy tylko wspólne czynniki w mniejszej liczbie powtórzeń: \(2^3\cdot3=24\). Do NWW bierzemy wszystkie potrzebne czynniki w większej liczbie powtórzeń: \(2^3\cdot3^2\cdot5=360\).
Dla niezerowych całkowitych a i b iloczyn dodatnich NWD i NWW jest równy wartości bezwzględnej iloczynu tych liczb. Pozwala to sprawdzić wynik lub wyznaczyć NWW po obliczeniu NWD.
5. Algorytm Euklidesa i zadanie o cyklach
Algorytm Euklidesa wyznacza NWD bez pełnego rozkładu. Dzielimy większą liczbę przez mniejszą, a potem powtarzamy dzielenie dla poprzedniego dzielnika i reszty. Zobacz parę dwieście pięćdziesiąt dwa i sto pięć.
- Sto pięć mieści się dwa razy, zostaje czterdzieści dwa.\(252=2\cdot105+42\)
- Dzielimy poprzedni dzielnik przez resztę.\(105=2\cdot42+21\)
- Kolejne dzielenie daje resztę zero, więc kończymy.\(42=2\cdot21+0\)
- Ostatnia niezerowa reszta jest największym wspólnym dzielnikiem.\(\operatorname{NWD}(252,105)=21\)
Dwa sygnały uruchomiły się jednocześnie. Jeden powtarza się co osiemnaście minut, drugi co dwadzieścia cztery. Pytamy o pierwszy dodatni czas wspólny dla obu cykli, więc liczymy NWW. Z \(18=2\cdot3^2\) i \(24=2^3\cdot3\) otrzymujemy \(\operatorname{NWW}=2^3\cdot3^2=72\). Sygnały ponownie spotkają się po siedemdziesięciu dwóch minutach, czyli po czterech i trzech swoich cyklach.
6. Jak dobrać właściwe pojęcie?
Jeśli chcesz pociąć dwa odcinki na możliwie najdłuższe jednakowe kawałki bez resztek, szukasz wspólnego dzielnika i wybierasz największy. Jeśli szukasz pierwszego ponownego spotkania cykli startujących razem, szukasz wspólnej wielokrotności i wybierasz najmniejszą dodatnią.
Przy NWD sprawdź, czy wynik dzieli obie liczby. Przy NWW sprawdź, czy wynik jest wielokrotnością każdej z nich. Samo spełnienie tych warunków nie wystarcza do największego lub najmniejszego wyniku, dlatego trzeba jeszcze uzasadnić wybór na podstawie rozkładu, listy lub algorytmu.