Podzielność liczb całkowitych

Wyobraź sobie 48 cukierków, które chcesz rozdzielić po równo między kilka osób. Jeżeli nic nie zostanie, liczba osób jest dzielnikiem 48. Podzielność mówi więc, czy dany podział można wykonać idealnie, bez reszty.

Czym jest podzielność?

Mówimy, że liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b różną od zera, gdy istnieje liczba całkowita k taka, że a = b · k. Zapisujemy wtedy b | a.

• 3 | 12, ponieważ 12 = 3 · 4.
• 5 nie dzieli 12, ponieważ 12 : 5 nie jest liczbą całkowitą.

Dzielniki i wielokrotności

Dzielnik liczby dzieli ją bez reszty. Wielokrotność powstaje przez pomnożenie liczby przez liczbę całkowitą.

• Dzielniki dodatnie liczby 12 to 1, 2, 3, 4, 6 i 12.
• Wielokrotności liczby 5 to 0, 5, 10, 15, 20 i kolejne.

Cechy podzielności

• Przez 2: ostatnia cyfra jest parzysta.
• Przez 3: suma cyfr jest podzielna przez 3.
• Przez 4: liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4.
• Przez 5: ostatnia cyfra to 0 lub 5.
• Przez 6: liczba jest podzielna jednocześnie przez 2 i 3.
• Przez 8: liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez 8.
• Przez 9: suma cyfr jest podzielna przez 9.
• Przez 10: ostatnia cyfra to 0.
• Przez 11: różnica sum cyfr stojących na przemian jest podzielna przez 11.

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza większa od 1 ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: 1 i samą siebie. Liczba złożona ma więcej niż dwa dodatnie dzielniki.

• 2, 3, 5, 7 i 11 są pierwsze.
• 4, 6, 8, 9 i 12 są złożone.
• Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.

Rozkład na czynniki pierwsze

Każdą liczbę naturalną większą od 1 można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych. Najłatwiej dzielić kolejno przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze.

• 60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2² · 3 · 5.
• 84 = 2 · 42 = 2² · 21 = 2² · 3 · 7.

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność

NWD to największa liczba dzieląca obie liczby. NWW to najmniejsza dodatnia liczba będąca wielokrotnością obu liczb.

• Dla 12 i 18: NWD = 6.
• Dla 12 i 18: NWW = 36.
• Dla dodatnich a i b zachodzi NWD(a, b) · NWW(a, b) = a · b.

Reszta z dzielenia

Jeżeli liczba a nie jest podzielna przez b, możemy zapisać a = b · q + r, gdzie 0 ≤ r < |b|. Liczba r jest resztą z dzielenia.

• 17 = 5 · 3 + 2, więc reszta z dzielenia 17 przez 5 wynosi 2.
• 24 = 6 · 4 + 0, więc 24 jest podzielne przez 6.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim O-S-K: Ostatnia cyfra, Suma cyfr, Końcówka liczby. Najpierw sprawdź ostatnią cyfrę dla 2, 5 i 10, potem sumę cyfr dla 3 i 9, a na końcu dwie lub trzy ostatnie cyfry dla 4 i 8. Wyobraź sobie trzy bramki kontrolne: pierwsza skanuje ogon liczby, druga wrzuca cyfry do wielkiego blendera, a trzecia odcina końcówkę nożycami.

Przykład krok po kroku

Sprawdź, przez które z liczb 2, 3, 4, 5, 6 i 9 jest podzielna liczba 2376.

• Krok 1: Ostatnia cyfra to 6, więc liczba jest podzielna przez 2.
• Krok 2: Suma cyfr wynosi 2 + 3 + 7 + 6 = 18, więc liczba jest podzielna przez 3 i 9.
• Krok 3: Dwie ostatnie cyfry tworzą 76, a 76 jest podzielne przez 4.
• Krok 4: Ostatnia cyfra nie jest 0 ani 5, więc liczba nie jest podzielna przez 5.
• Krok 5: Jest podzielna przez 2 i 3, więc jest także podzielna przez 6.
• Wynik: 2376 jest podzielna przez 2, 3, 4, 6 i 9, ale nie przez 5.

Najczęstsze błędy

• Mylenie dzielnika z wielokrotnością.
• Uznawanie liczby 1 za liczbę pierwszą.
• Sprawdzanie podzielności przez 6 tylko za pomocą jednej cechy.
• Dodawanie cyfr przy cesze podzielności przez 4 lub 8 zamiast badania końcówki.
• Pomijanie wykładników w rozkładzie na czynniki pierwsze.

Najczęstsze pytania