Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zapisujemy ją między pionowymi kreskami. Ponieważ odległość nie jest ujemna, zarówno \(|5|\), jak i \(|-5|\) mają wartość pięć.
1. Kreski oznaczają odległość, nie zmianę znaku
Liczba minus pięć leży pięć jednostek na lewo od zera, a plus pięć pięć jednostek na prawo. Kierunki są przeciwne, lecz odległości takie same. Dlatego \(|-5|=5\), \(|5|=5\), a \(|0|=0\). Wartość bezwzględna bywa też nazywana modułem.
Nie stosuj polecenia „zawsze zmień znak”. Liczba dodatnia ma zostać dodatnia. Jeżeli wewnątrz kresek jest działanie, najpierw je oblicz: \(|3-8|=|-5|=5\), a \(|8-3|=|5|=5\). Dwa różne odejmowania dały przeciwne liczby, lecz ich moduły są równe.
Dla symbolu x działamy zależnie od jego znaku: jeśli \(x\ge0\), to \(|x|=x\). Jeśli \(x\lt0\), to \(|x|=-x\). Drugi zapis też daje liczbę dodatnią, ponieważ przeciwną do ujemnego x jest liczba dodatnia. Na przykład dla \(x=-4\) mamy \(-x=-(-4)=4\).
2. Odległość między dwiema liczbami
Odległość między ośmioma i trzema wynosi pięć: \(|8-3|=5\). Odległość między minus dwoma i trzema też wynosi pięć: \(|-2-3|=|-5|=5\). Kolejność odejmowania nie zmienia odległości, ponieważ bierzemy wartość bezwzględną.
Litera \(a\) wyznacza środek, od którego mierzymy odległość. W \(|x-3|\) środkiem jest trzy, a w \(|x+3|=|x-(-3)|\) środkiem jest minus trzy.
To pozwala rozumieć równania i nierówności bez zapamiętywania wielu osobnych reguł. Najpierw znajdź środek, potem odczytaj wymaganą odległość. Uważaj na plus wewnątrz kresek: środek dla \(|x+2|\) to minus dwa, nie dwa.
3. Równanie: punkty w określonej odległości
Rozwiąż \(|x-3|=5\). Szukamy punktów oddalonych o pięć od trzech. Jeden leży pięć jednostek w lewo, drugi pięć w prawo.
- Punkt po prawej otrzymasz przez dodanie odległości do środka.\(x=3+5=8\)
- Punkt po lewej otrzymasz przez odjęcie odległości.\(x=3-5=-2\)
- Sprawdź oba punkty w wyjściowym zapisie.\(|8-3|=5,\qquad|-2-3|=5\)
Algebraicznie to dwa przypadki: \(x-3=5\) lub \(x-3=-5\). Moduł dodatniej odległości daje zwykle dwie możliwości. Dla \(|x-3|=0\) zostaje tylko \(x=3\). Dla \(|x-3|=-5\) nie ma rozwiązań, ponieważ odległość nie może być ujemna.
4. Nierówności: środek albo zewnętrzne części osi
Warunek \(|x-2|\le3\) oznacza odległość od dwóch nie większą niż trzy. Bierzemy wszystkie liczby między \(2-3=-1\) i \(2+3=5\), razem z końcami: \(-1\le x\le5\), czyli \([-1;5]\). Nawiasy kwadratowe oznaczają, że granice są dozwolone.
Przy \(|x-2|\lt3\) graniczne punkty są za daleko, bo ich odległość wynosi dokładnie trzy. Otrzymujemy otwarty przedział \((-1;5)\). Znak \(\lt\) czytamy „mniejsze od”.
Warunek \(|x-2|\gt3\) każe wyjść poza ten odcinek: \(x\lt-1\) lub \(x\gt5\). Słowo „lub” oznacza dwie dopuszczalne części osi. Przy \(\ge3\) dołączamy oba końce. Dla \(|x|\lt r\) i dodatniego r środkiem jest zero, więc \(-r\lt x\lt r\). Dla \(|x|\gt r\) dostajemy \(x\lt-r\) lub \(x\gt r\).
Przed stosowaniem tych reguł sprawdź prawą stronę. Na przykład \(|x|\ge0\) spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, a \(|x|\lt0\) nie spełnia żadna.
5. Działania z modułami
Moduł iloczynu jest iloczynem modułów: \(|ab|=|a||b|\). Na przykład \(|(-2)\cdot3|=6\) i \(|-2|\cdot|3|=2\cdot3=6\). Dla niezerowego b zachodzi też \(|\frac ab|=\frac{|a|}{|b|}\).
Dla sumy nie ma takiej równości: \(|1+(-1)|=0\), natomiast \(|1|+|-1|=2\). Ogólnie \(|a+b|\le|a|+|b|\); liczby o przeciwnych znakach mogą się częściowo lub całkowicie znieść przed wzięciem modułu.
Przykład \(|-3|+|2-7|\) obliczamy oddzielnie: pierwszy moduł to trzy, w drugim najpierw \(2-7=-5\), więc jego moduł to pięć. Razem \(3+5=8\). Nie obejmujemy całej sumy jednym modułem, jeśli w zadaniu są dwa osobne.
6. Sprawdzaj odległość na osi
W równaniu sprawdź oba punkty, a w nierówności dodatkowo środek i końce przedziału. Jeśli warunek każe być blisko środka, środek powinien pasować. Jeśli wymaga odległości większej od dodatniej liczby, środek powinien odpaść. Takie sprawdzenie szybko wykrywa pomylenie wnętrza przedziału z jego zewnętrzem.