Wartość bezwzględna

Wyobraź sobie oś liczbową jako długi korytarz, a zero jako środek pokoju. Liczby 5 i -5 stoją po przeciwnych stronach, ale obie są oddalone od zera o pięć kroków. Wartość bezwzględna opisuje właśnie tę odległość, bez zwracania uwagi na kierunek.

Definicja wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględną liczby x zapisujemy jako |x|. Jest ona równa odległości liczby x od zera na osi liczbowej.

• |7| = 7.
• |-7| = 7.
• |0| = 0.

Definicja algebraiczna

Wartość bezwzględną można opisać za pomocą dwóch przypadków:

• Jeśli x ≥ 0, to |x| = x.
• Jeśli x < 0, to |x| = -x.

Drugi zapis nie oznacza, że wynik jest ujemny. Dla x = -4 mamy -x = -(-4) = 4.

Odległość między liczbami

Odległość między liczbami a i b jest równa |a - b|. Kolejność odejmowania nie wpływa na wynik, ponieważ |a - b| = |b - a|.

• Odległość między 3 i 8: |3 - 8| = |-5| = 5.
• Odległość między -2 i 4: |-2 - 4| = |-6| = 6.

Podstawowe własności

• |x| ≥ 0 dla każdej liczby rzeczywistej x.
• |x| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.
• |-x| = |x|.
• |xy| = |x| · |y|.
• |x/y| = |x|/|y| dla y ≠ 0.

Równania z wartością bezwzględną

Równanie |x| = a ma dwa rozwiązania, gdy a > 0: x = a lub x = -a.

• |x| = 5 daje x = 5 lub x = -5.
• |x| = 0 daje tylko x = 0.
• |x| = -3 nie ma rozwiązania, ponieważ wartość bezwzględna nie może być ujemna.

Nierówności z wartością bezwzględną

Nierówność |x| < a oznacza, że x leży bliżej zera niż a, czyli -a < x < a. Nierówność |x| > a oznacza, że x leży dalej od zera niż a.

• |x| < 4 oznacza -4 < x < 4.
• |x| ≤ 3 oznacza -3 ≤ x ≤ 3.
• |x| > 2 oznacza x < -2 lub x > 2.

Wartość bezwzględna wyrażenia

Wyrażenie |x - 3| oznacza odległość liczby x od liczby 3. Dlatego równanie |x - 3| = 2 oznacza, że x jest oddalone od 3 o dwie jednostki.

• x = 3 - 2 = 1.
• x = 3 + 2 = 5.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim O-D-D: Odległość, Dwa kierunki, Dodatni wynik. Wyobraź sobie zero jako gigantyczną latarnię, a liczby jako dwa roboty idące w lewo i w prawo. Wartość bezwzględna liczy tylko liczbę kroków do latarni, więc oba roboty pokazują dodatni wynik.

Przykład krok po kroku

Rozwiąż równanie |2x - 1| = 7.

• Krok 1: Wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej może być równe 7 albo -7.
• Krok 2: Rozwiąż 2x - 1 = 7, więc 2x = 8 i x = 4.
• Krok 3: Rozwiąż 2x - 1 = -7, więc 2x = -6 i x = -3.
• Krok 4: Sprawdzenie: |2 · 4 - 1| = 7 oraz |2 · (-3) - 1| = 7.
• Wynik: x = 4 lub x = -3.

Najczęstsze błędy

• Twierdzenie, że |-5| = -5.
• Podawanie tylko jednego rozwiązania równania |x| = a.
• Szukanie rozwiązań równania |x| = liczba ujemna.
• Mylenie |a - b| z |a| - |b|.
• Błędne zamienianie nierówności |x| > a na jeden przedział środkowy.

Najczęstsze pytania