Przedziały liczbowe

Wyobraź sobie korytarz z drzwiami na obu końcach. Jeśli drzwi są zamknięte, liczba stojąca na końcu należy do przedziału. Jeśli drzwi są otwarte, ta liczba zostaje na zewnątrz. Właśnie tak działają nawiasy w zapisie przedziałów liczbowych.

Czym jest przedział liczbowy?

Przedział liczbowy to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżących między określonymi granicami. Może zawierać oba końce, jeden z nich albo żadnego.

Przedział domknięty

Przedział [a, b] zawiera wszystkie liczby x spełniające warunek a ≤ x ≤ b. Oba końce należą do przedziału.

• [2, 5] zawiera liczby 2 i 5.
• Na osi liczbowej końce oznaczamy pełnymi kropkami.

Przedział otwarty

Przedział (a, b) zawiera liczby spełniające a < x < b. Końce nie należą do przedziału.

• (2, 5) nie zawiera 2 ani 5.
• Na osi liczbowej końce oznaczamy pustymi kółkami.

Przedziały półotwarte

Przedział może zawierać tylko jeden koniec:

• [a, b) oznacza a ≤ x < b.
• (a, b] oznacza a < x ≤ b.

Przedziały nieograniczone

Jeżeli przedział biegnie bez końca, używamy symboli -∞ lub +∞. Nieskończoność nigdy nie jest liczbą należącą do przedziału, dlatego przy niej zawsze stosujemy nawias otwarty.

• (-∞, 3] oznacza x ≤ 3.
• [4, +∞) oznacza x ≥ 4.
• (-∞, +∞) oznacza cały zbiór liczb rzeczywistych.

Zapis nierówności jako przedziału

• x > 2 zapisujemy jako (2, +∞).
• x ≤ 7 zapisujemy jako (-∞, 7].
• -3 ≤ x < 5 zapisujemy jako [-3, 5).

Przecięcie i suma przedziałów

Przecięcie oznacza liczby należące jednocześnie do obu przedziałów. Suma oznacza liczby należące do co najmniej jednego z nich.

• [1, 5] ∩ [3, 7] = [3, 5].
• [1, 3] ∪ [3, 6] = [1, 6].
• (-∞, 0) ∪ (0, +∞) = ℝ \ {0}.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-N-O: Koniec należy, Nawias zamknięty; Odrzucony koniec, nawias otwarty. Wyobraź sobie dwa gigantyczne nawiasy jako drzwi. Kwadratowy nawias zatrzaskuje liczbę w środku, a okrągły odbija ją jak trampolina poza przedział.

Przykład krok po kroku

Zapisz w postaci przedziału zbiór liczb spełniających nierówność -2 < x ≤ 4.

• Krok 1: Lewa granica to -2.
• Krok 2: Znak < oznacza, że -2 nie należy do zbioru, więc używamy nawiasu otwartego.
• Krok 3: Prawa granica to 4.
• Krok 4: Znak ≤ oznacza, że 4 należy do zbioru, więc używamy nawiasu domkniętego.
• Wynik: (-2, 4].

Najczęstsze błędy

• Używanie nawiasu domkniętego przy nieskończoności.
• Mylenie znaku < z nawiasem domkniętym.
• Odwracanie kolejności końców przedziału.
• Nieuwzględnianie wspólnej części przy przecięciu.
• Łączenie przedziałów, między którymi istnieje luka.

Najczęstsze pytania