Przedział liczbowy opisuje wszystkie liczby z określonego odcinka lub części osi. Zamiast wypisywać nieskończenie wiele wartości, podajemy jego końce i informację, czy do niego należą. Dotyczy to wszystkich liczb rzeczywistych, także ułamków i liczb niewymiernych.
1. Od warunku słownego do nierówności
Warunek „liczba większa od minus jednego i nie większa od trzech” zapisujemy \(-1\lt x\le3\). Litera x oznacza dowolną sprawdzaną liczbę. Symbol \(\lt\) oznacza „mniejsze od”, a \(\le\) „mniejsze lub równe”. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie.
Zero i dwa pasują, ale pasuje też \(\frac12\). Minus jeden nie pasuje, bo nie jest większy od siebie. Trzy pasuje dzięki dopuszczonej równości. Cztery nie pasuje, bo przekracza prawą granicę. To prosty sposób kontrolowania końców przedziału.
2. Nawiasy i rysunek na osi
Przy końcu należącym do zbioru piszemy nawias kwadratowy, a na osi rysujemy pełny punkt. Przy końcu wykluczonym piszemy nawias okrągły i rysujemy pusty punkt. Dla poprzedniego warunku otrzymujemy \((-1;3]\). Średnik oddziela końce, co ułatwia odczyt, gdy liczby zawierają przecinek dziesiętny.
- \([a;b]\) oznacza \(a\le x\le b\): oba końce należą.
- \((a;b)\) oznacza \(a\lt x\lt b\): oba końce są wykluczone.
- \([a;b)\) oznacza \(a\le x\lt b\).
- \((a;b]\) oznacza \(a\lt x\le b\).
W tych zapisach zakładamy \(a\lt b\). Nie wybieramy nawiasu na podstawie tego, czy liczba jest dodatnia czy ujemna. Decyduje możliwość równości. Przedział \([-2;5)\) zawiera minus dwa, ale nie zawiera pięciu.
3. Przedziały nieograniczone
Warunek \(x\gt4\) nie ma prawej granicy: zawsze znajdziesz jeszcze większą liczbę. Zapisujemy \((4;+\infty)\). Symbol nieskończoności mówi, że idziemy bez ograniczenia w prawo; nie oznacza największej liczby. Dlatego przy nieskończoności zawsze używamy nawiasu okrągłego.
Dla \(x\le-1\) bierzemy wszystkie liczby na lewo od minus jednego i sam koniec: \((-\infty;-1]\). Cała oś ma zapis \((-\infty;+\infty)=\mathbb R\). Jeżeli żadna liczba nie spełnia warunków, otrzymujemy zbiór pusty oznaczany \(\varnothing\).
Nie każda odpowiedź jest jednym przedziałem. Warunek \(x\ne0\) daje dwie części osi: \((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\). Znak \(\cup\) oznacza połączenie zbiorów. W obu częściach zero jest wykluczone.
4. Suma, część wspólna i różnica
Niech \(A=[-2;4]\), a \(B=(1;6)\). Suma \(A\cup B\) zawiera liczby należące do co najmniej jednego zbioru. Przedziały nachodzą na siebie, więc razem pokrywają \([-2;6)\). Lewy koniec należy do A, a prawy nie należy do żadnego z nich.
Część wspólna \(A\cap B\) zawiera tylko liczby należące do obu zbiorów jednocześnie. Muszą być większe od jednego i nie większe od czterech, więc \(A\cap B=(1;4]\). Liczba jeden odpada, bo nie należy do B, a cztery zostaje, bo należy do obu.
Różnica \(A\setminus B\) zostawia elementy pierwszego zbioru, które nie należą do drugiego. Na przykład \([0;5]\setminus(2;4)=[0;2]\cup[4;5]\). Usuwamy środek, ale zostawiamy dwa i cztery, ponieważ przedział odejmowany ich nie zawierał.
Przy zbiorach rozłącznych suma pozostaje dwiema częściami. Nie wolno zapisać \([0;1]\cup[3;4]\) jako \([0;4]\), bo w ten sposób dodalibyśmy nieobecną przerwę między jednym i trzema. Część wspólna tych rozłącznych przedziałów jest pusta.
5. Od nierówności z działaniami do przedziału
Rozwiąż \(-2\lt3x+1\le10\). Chcemy zostawić samo x w środku. To dwie nierówności naraz, dlatego tę samą operację wykonujemy we wszystkich trzech częściach.
- Odejmij jeden od lewej granicy, środkowego wyrażenia i prawej granicy.\(-3\lt3x\le9\)
- Podziel wszystkie części przez dodatnie trzy. Zwroty nierówności pozostają takie same.\(-1\lt x\le3\)
- Zapisz zbiór rozwiązań. Minus jeden wykluczamy, a trzy włączamy.\(x\in(-1;3]\)
Kontrola: dla \(x=3\) środkowe wyrażenie wynosi dziesięć, co jest dozwolone. Dla \(x=-1\) wynosi minus dwa, lecz po lewej nierówność jest ostra, więc ten koniec odpada. Jeśli w innym zadaniu mnożysz lub dzielisz nierówność przez liczbę ujemną, musisz odwrócić jej zwrot.
6. Końce sprawdzaj osobno
Po narysowaniu lub zapisaniu wyniku przetestuj każdy skończony koniec przez podstawienie do warunku. Przy części wspólnej wymagaj spełnienia obu warunków, przy sumie co najmniej jednego. Dopiero potem sprawdzaj wnętrze i ewentualne przerwy. Dzięki temu nie trzeba zgadywać nawiasów z wyglądu rysunku.