Przybliżenia i zaokrąglenia

Wyobraź sobie licznik kilometrów pokazujący 247,836 km. W codziennej rozmowie możesz powiedzieć około 248 km, ale w laboratorium taka dokładność może być niewystarczająca. Przybliżenie zależy więc od celu: czasem wystarczy liczba całkowita, a czasem potrzebne są setne lub tysięczne.

Czym jest przybliżenie?

Przybliżenie to liczba bliska wartości dokładnej, ale zapisana prościej. Używamy znaku ≈, na przykład π ≈ 3,14. Przybliżenia pojawiają się w pomiarach, obliczeniach i danych statystycznych.

Jak zaokrąglać liczby?

Aby zaokrąglić liczbę do wskazanego miejsca, patrzymy na pierwszą cyfrę znajdującą się po prawej stronie tego miejsca.

• Jeśli ta cyfra jest mniejsza niż 5, pozostawiamy cyfrę zaokrąglaną bez zmian.
• Jeśli ta cyfra jest równa 5 lub większa, zwiększamy cyfrę zaokrąglaną o 1.
• Cyfry stojące dalej usuwamy albo zastępujemy zerami, zależnie od miejsca zapisu.

Przykłady zaokrągleń

• 7,43 do części dziesiątych: 7,4, ponieważ kolejna cyfra to 3.
• 7,48 do części dziesiątych: 7,5, ponieważ kolejna cyfra to 8.
• 3647 do setek: 3600, ponieważ cyfra dziesiątek to 4.
• 3687 do setek: 3700, ponieważ cyfra dziesiątek to 8.

Zaokrąglanie liczb ujemnych

Stosujemy tę samą regułę cyfr. Na przykład -3,46 zaokrąglone do części dziesiątych daje -3,5. Warto pamiętać, że -3,5 jest mniejsze od -3,4, choć ma większą wartość bezwzględną.

Przybliżenie z niedomiarem i nadmiarem

Przybliżenie z niedomiarem jest nie większe od wartości dokładnej, a przybliżenie z nadmiarem jest nie mniejsze od niej.

• Dla liczby 5,78 przybliżenie do jedności z niedomiarem to 5.
• Dla liczby 5,78 przybliżenie do jedności z nadmiarem to 6.
• Zwykłe zaokrąglenie do jedności również daje 6.

Maksymalny błąd zaokrąglenia

Maksymalny błąd bezwzględny zwykłego zaokrąglenia jest równy połowie jednostki miejsca, do którego zaokrąglamy.

• Do jedności: maksymalny błąd 0,5.
• Do części dziesiątych: maksymalny błąd 0,05.
• Do części setnych: maksymalny błąd 0,005.
• Do dziesiątek: maksymalny błąd 5.

Cyfry znaczące

Cyfry znaczące opisują precyzję pomiaru. Liczymy je od pierwszej cyfry różnej od zera. Na przykład liczba 0,00450 ma trzy cyfry znaczące: 4, 5 i końcowe 0, które informuje o dokładności pomiaru.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim M-S-Z: Miejsce, Sąsiad, Zmień lub zostaw. Najpierw zaznacz miejsce zaokrąglenia, potem spójrz na sąsiada po prawej, a na końcu zmień cyfrę albo ją zostaw. Wyobraź sobie cyfrę 5 jako wielkiego czerwonego strażnika: gdy pojawia się obok, popycha cyfrę po lewej o jeden stopień w górę.

Przykład krok po kroku

Zaokrąglij liczbę 18,7462 do części setnych i podaj maksymalny błąd.

• Krok 1: Miejsce setnych zajmuje cyfra 4.
• Krok 2: Cyfra po prawej stronie to 6.
• Krok 3: Ponieważ 6 ≥ 5, zwiększamy 4 do 5.
• Krok 4: Otrzymujemy 18,75.
• Krok 5: Maksymalny błąd przy zaokrągleniu do setnych wynosi 0,005.
• Wynik: 18,7462 ≈ 18,75.

Kiedy zaokrąglać w obliczeniach?

Najbezpieczniej zaokrąglać dopiero na końcu obliczeń. Zbyt wczesne zaokrąglenie może spowodować narastanie błędu. W obliczeniach pośrednich warto zachować kilka dodatkowych cyfr.

Najczęstsze błędy

• Patrzenie na niewłaściwą cyfrę po prawej stronie.
• Zaokrąglanie każdej cyfry osobno.
• Usuwanie zer, które są cyframi znaczącymi.
• Zaokrąglanie wyników pośrednich zbyt wcześnie.
• Mylenie zwykłego zaokrąglenia z przybliżeniem z niedomiarem lub nadmiarem.

Najczęstsze pytania