Błąd bezwzględny mówi, o ile przybliżona wartość różni się od dokładnej. Błąd względny pokazuje, jak duża jest ta pomyłka w porównaniu z wartością dokładną. Ten sam błąd o jedną jednostkę może być mały dla dużej wielkości i duży dla małej.
1. Wartość dokładna i przybliżona
Załóżmy, że dokładna długość odcinka wynosi osiemdziesiąt centymetrów, a ktoś podał siedemdziesiąt osiem. Dokładną wartość oznaczymy przez \(x\), a przybliżoną przez \(x_p\). Mała litera p jest tylko oznaczeniem przybliżenia. Obie długości trzeba zapisać w tej samej jednostce.
Jeśli wartość dokładna nie jest znana, nie wyznaczymy rzeczywistego błędu jedynie z samego wyniku pomiaru. Zadanie szkolne zwykle podaje wartość dokładną albo wartość odniesienia uznaną za dokładną. Deklarowana dokładność przyrządu jest dodatkową informacją, a nie automatycznie błędem każdego pomiaru.
Przybliżenie może być mniejsze lub większe od wartości dokładnej. Błąd opisuje wielkość różnicy, więc sam znak odejmowania nie powinien uczynić go ujemnym.
2. Błąd bezwzględny: odległość między wartościami
Wartość bezwzględna oznacza odległość od zera: \(|-2|=2\) i \(|2|=2\). Dlatego różnicę wartości obejmujemy kreskami. Dla dokładnych osiemdziesięciu i przybliżonych siedemdziesięciu ośmiu otrzymujemy \(|78-80|=|-2|=2\). Błąd bezwzględny wynosi dwa centymetry.
\(\Delta\), czytane „delta”, oznacza tutaj błąd bezwzględny. Ma tę samą jednostkę co porównywane wartości i zawsze jest nieujemny.
Przybliżenie osiemdziesiąt dwa centymetry dawałoby ten sam błąd: \(|82-80|=2\). Kierunek pomyłki jest inny, ale jej wielkość taka sama. Przy dokładnym trafieniu, gdy \(x_p=x\), błąd wynosi zero.
3. Błąd względny: jaka część wartości?
Dwa centymetry porównujemy z dokładnymi osiemdziesięcioma: \(\frac2{80}=0{,}025\). Otrzymaliśmy udział błędu w całej wartości. Po przeliczeniu na procenty jest to \(0{,}025\cdot100\%=2{,}5\%\).
\(\delta\), mała delta, oznacza błąd względny. Aby podać go w procentach, mnożymy ten udział przez sto procent. W mianowniku stoi wartość dokładna, objęta wartością bezwzględną.
Jednostki się skracają: centymetry dzielimy przez centymetry. Błąd względny jest więc liczbą bez jednostki lub procentem. Wartość \(0{,}003\) odpowiada \(0{,}3\%\), a nie trzem procentom. Dla dokładnej wartości zero standardowy błąd względny nie jest określony, ponieważ wymagałby dzielenia przez zero.
4. Pełny przykład obliczeniowy
Wartość dokładna wynosi pięćdziesiąt kilogramów, a przybliżona czterdzieści osiem. Oblicz oba błędy.
- Przypisz role danym. Obie masy podano w kilogramach.\(x=50,\qquad x_p=48\)
- Odejmij wartości i weź nieujemną wielkość różnicy.\(\Delta=|48-50|=2\)
- Podziel błąd bezwzględny przez wartość dokładną.\(\delta=\frac2{50}=0{,}04\)
- Zapisz udział w procentach.\(0{,}04\cdot100\%=4\%\)
Odpowiedź: błąd bezwzględny to dwa kilogramy, a względny cztery procent. Iloraz \(\frac{48}{50}=0{,}96\) mówi, jaką część wartości dokładnej stanowi przybliżenie. Nie jest samym błędem. Brakujące cztery setne odpowiadają tutaj błędowi względnemu.
5. Porównywanie dokładności i zadanie odwrotne
Pomiar długości dziesięć centymetrów obarczony błędem jednego centymetra ma błąd względny \(\frac1{10}=10\%\). Przy dokładnej długości dwa metry ten sam centymetr oznacza \(\frac1{200}=0{,}5\%\). Najpierw zamieniliśmy dwa metry na dwieście centymetrów. Drugi pomiar jest względnie dokładniejszy, mimo identycznego błędu bezwzględnego.
Jeśli błąd względny ma wynosić najwyżej dwa procent przy dokładnej wartości dwieście, to maksymalny błąd bezwzględny wynosi \(0{,}02\cdot200=4\). Przybliżenie może być mniejsze lub większe, więc powinno należeć do przedziału od stu dziewięćdziesięciu sześciu do dwustu czterech włącznie. Zapisujemy \(196\le x_p\le204\).
Błąd względny może przekroczyć sto procent, jeśli pomyłka przewyższa moduł wartości dokładnej. Dla \(x=2\) i \(x_p=5\) mamy \(\Delta=3\) oraz \(\delta=\frac32=150\%\). Nie odrzucamy takiego wyniku tylko dlatego, że jest większy od stu procent.
6. Najczęstsze błędy
Nie mieszaj metrów i centymetrów w odejmowaniu ani w ilorazie. Nie dziel przez wartość przybliżoną, jeśli zadanie wymaga standardowego błędu względnego względem dokładnej. Po obliczeniu nazwij wynik: „dwa centymetry” i „dwa procenty” to różne informacje. Przed porównywaniem pomiarów sprawdź, czy pytanie dotyczy błędu bezwzględnego czy względnego.