Błąd bezwzględny i błąd względny

Wyobraź sobie, że ważysz plecak i otrzymujesz wynik 7,8 kg, choć jego rzeczywista masa wynosi 8 kg. Różnica 0,2 kg to błąd bezwzględny. Jednak ta sama różnica miałaby zupełnie inne znaczenie przy ważeniu ciężarówki. Dlatego oprócz samej różnicy potrzebujemy również błędu względnego.

Wartość dokładna i przybliżona

W zadaniach rozróżniamy wartość dokładną, oznaczaną często przez x, oraz wartość przybliżoną, oznaczaną przez x_p. Wartość przybliżona może pochodzić z pomiaru, zaokrąglenia albo oszacowania.

• Wartość dokładna: 8 kg.
• Wartość przybliżona: 7,8 kg.
• Różnica między nimi: 0,2 kg.

Błąd bezwzględny

Błąd bezwzględny to wartość bezwzględna różnicy między wartością dokładną a przybliżoną:

Δx = |x - x_p|

Błąd bezwzględny ma tę samą jednostkę co mierzona wielkość.

• Dla 8 kg i 7,8 kg: |8 - 7,8| = 0,2 kg.
• Dla 120 cm i 118 cm: |120 - 118| = 2 cm.

Błąd względny

Błąd względny porównuje błąd bezwzględny z wartością dokładną:

δ = Δx / |x|

Często zapisujemy go w procentach:

δ% = Δx / |x| · 100%

• Dla 8 kg i błędu 0,2 kg: 0,2/8 = 0,025 = 2,5%.
• Dla 120 cm i błędu 2 cm: 2/120 ≈ 0,0167 = 1,67%.

Dlaczego potrzebujemy obu błędów?

Błąd bezwzględny odpowiada na pytanie, o ile wynik różni się od wartości dokładnej. Błąd względny odpowiada na pytanie, jak duża jest ta różnica w stosunku do całej wartości.

Ta sama różnica 1 cm może być ogromna przy długości 2 cm, ale prawie nieistotna przy długości 100 m.

Zaokrąglenia a maksymalny błąd

Jeżeli liczbę zaokrąglono do określonego miejsca, maksymalny błąd bezwzględny jest równy połowie jednostki tego miejsca.

• Zaokrąglenie do jedności: maksymalny błąd to 0,5.
• Zaokrąglenie do części dziesiątych: maksymalny błąd to 0,05.
• Zaokrąglenie do setek: maksymalny błąd to 50.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-P-P: Różnica, Podziel, Procent. Najpierw policz wartość bezwzględną różnicy, potem podziel ją przez wartość dokładną, a na końcu pomnóż przez 100%, jeśli wynik ma być procentowy. Wyobraź sobie linijkę, która mierzy odległość między dwiema liczbami, potem wskakuje do gigantycznego dzielnika, a na końcu zostaje obsypana setką błyszczących znaków procentu.

Przykład krok po kroku

Dokładna długość odcinka wynosi 250 cm, a pomiar dał 247 cm. Oblicz błąd bezwzględny i względny.

• Krok 1: Błąd bezwzględny: |250 - 247| = 3 cm.
• Krok 2: Błąd względny: 3/250 = 0,012.
• Krok 3: Zapis procentowy: 0,012 · 100% = 1,2%.
• Wynik: błąd bezwzględny wynosi 3 cm, a względny 1,2%.

Porównywanie dokładności pomiarów

Jeżeli dwa pomiary dotyczą wielkości o różnych skalach, porównujemy ich błędy względne. Mniejszy błąd względny oznacza dokładniejszy pomiar.

• Pomiar A: błąd 1 cm przy długości 20 cm daje 5%.
• Pomiar B: błąd 2 cm przy długości 200 cm daje 1%.
• Pomiar B jest dokładniejszy, mimo większego błędu bezwzględnego.

Najczęstsze błędy

• Pomijanie wartości bezwzględnej i otrzymywanie ujemnego błędu.
• Dzielenie przez wartość przybliżoną zamiast dokładnej, gdy zadanie wymaga standardowej definicji.
• Brak zamiany błędu względnego na procent.
• Mylenie jednostek błędu bezwzględnego z bezwymiarowym błędem względnym.
• Porównywanie dokładności tylko na podstawie błędu bezwzględnego.

Najczęstsze pytania