Rozwiązywanie zadań procentowych zaczyna się od ustalenia, która wielkość jest całością, czyli sto procent. Dopiero potem wybieramy działanie. Ta sama liczba w treści może oznaczać całość, jej część albo wartość już po zmianie.
1. Jak przełożyć zdanie na dane?
Zdanie „trzydzieści pięć procent z dwustu czterdziestu uczniów” zawiera znaną całość: dwustu czterdziestu uczniów. Szukamy jej części. W zdaniu „osiemdziesięciu czterech uczniów stanowi trzydzieści pięć procent szkoły” znamy tę część, ale szukamy liczby wszystkich uczniów. Te zadania opisują tę samą sytuację, lecz wymagają odwrotnych działań.
Procent zamieniamy na ułamek, dzieląc przez sto: \(35\%=0{,}35\). Zapis \(0{,}35W\) oznacza trzydzieści pięć procent całości nazwanej literą \(W\). Litera zastępuje nieznaną liczbę, a stojący obok ułamek ją mnoży.
Wypisz trzy informacje: co jest całością, jaką część lub zmianę podano i o co pytają. Nie zapisuj dosłownie „sto procent równa się dwieście czterdzieści osób”: procent jest udziałem, a liczba osób jego wartością w konkretnej sytuacji.
2. Trzy podstawowe pytania
Oblicz część: trzydzieści pięć procent z dwustu czterdziestu uczniów to \(0{,}35\cdot240=84\) uczniów. Mnożymy, ponieważ bierzemy wskazaną część znanej całości.
Oblicz całość: osiemdziesięciu czterech uczniów to trzydzieści pięć procent szkoły. Zapisujemy \(0{,}35W=84\). Dzielimy obie strony przez \(0{,}35\): \(W=84:0{,}35=240\). Sprawdzamy, czy trzydzieści pięć procent otrzymanego wyniku daje osiemdziesiąt cztery.
Oblicz procent: osiemdziesięciu czterech uczniów spośród dwustu czterdziestu to udział \(\frac{84}{240}=0{,}35\), czyli \(35\%\). Mianownikiem zawsze jest grupa odniesienia, tutaj cała szkoła.
\(C\) to część, \(W\) to całość, a \(p\) to liczba procentów, na przykład trzydzieści pięć. Przy odtwarzaniu całości zakładamy \(p\ne0\); przy obliczaniu udziału \(W\gt0\).
3. Cena przed zmianą i po zmianie
Podwyżka o dwanaście procent daje mnożnik \(1{,}12\): zachowujemy całą cenę i dodajemy jej dwanaście setnych. Z pięciuset złotych otrzymujemy \(500\cdot1{,}12=560\) złotych. Obniżka o dwadzieścia procent pozostawia osiemdziesiąt procent, czyli mnożnik \(0{,}80\).
Jeśli po takiej obniżce cena wynosi trzysta sześćdziesiąt złotych, zapisujemy \(0{,}80W=360\). Stąd \(W=360:0{,}80=450\). Kontrola: dwadzieścia procent czterystu pięćdziesięciu to dziewięćdziesiąt, a \(450-90=360\).
Aby cofnąć zmianę, dzielimy przez jej mnożnik. Nie wystarczy dodać ten sam procent do ceny końcowej: \(360\cdot1{,}20=432\), a nie czterysta pięćdziesiąt. Procent byłby wówczas liczony od innej, mniejszej podstawy.
4. Kilka zmian i porównywanie dwóch wielkości
Towar kosztował tysiąc dwieście złotych. Obniżono cenę o piętnaście procent, a potem o dziesięć procent. Pierwsza obniżka pozostawia \(85\%=0{,}85\), druga \(90\%=0{,}90\) aktualnej ceny.
- Oblicz cenę po pierwszej obniżce.\(1200\cdot0{,}85=1020\)
- Drugi rabat licz od tysiąca dwudziestu, nie od tysiąca dwustu.\(1020\cdot0{,}90=918\)
- Ustal łączny ubytek i odnieś go do ceny początkowej.\(\frac{1200-918}{1200}\cdot100\%=23{,}5\%\)
Jeśli liczba A jest o dwadzieścia procent większa od B, to \(A=1{,}20B\). Dla \(B=150\) dostajemy \(A=180\). Pytanie „o ile procent B jest mniejsze od A?” ma inną podstawę: \(\frac{180-150}{180}=\frac16\), czyli dokładnie \(16\frac23\%\). Porównania w obu kierunkach nie muszą dawać tego samego procentu.
5. Procent w stężeniach i zadaniach o mieszaninach
Stężenie masowe oznacza, jaką część masy całego roztworu stanowi rozpuszczona substancja. Dwieście gramów roztworu o stężeniu dziesięciu procent zawiera \(0{,}10\cdot200=20\) gramów substancji. Pozostała masa to rozpuszczalnik, na przykład woda.
Jeżeli dodamy sto gramów czystej wody i nic się nie wyleje ani nie odparuje, masa substancji zostanie taka sama, a masa roztworu wzrośnie do trzystu gramów. Nowe stężenie to \(\frac{20}{300}\cdot100\%=6\frac23\%\). Nie dzielimy przez masę samej dodanej wody.
W zadaniach o mieszaniu dwóch roztworów najpierw obliczamy masę substancji w każdym z nich, dodajemy te masy, a dopiero potem dzielimy przez łączną masę roztworów. Średnia arytmetyczna stężeń zadziała tylko przy jednakowych masach roztworów. Najważniejsze jest ustalenie, co się zachowuje, a co zmienia.
6. Kontrola sensu i jednostek
Dla dodatniej całości jej część mniejsza niż sto procent powinna być od niej mniejsza. Cena po obniżce nie powinna wzrosnąć. W zadaniu o liczbie osób wynik zwykle musi być całkowity, ale nie zaokrąglaj go automatycznie, jeśli treść podaje dane dokładne — najpierw sprawdź rachunek i interpretację. Zakończ odpowiedzią na pytanie, z właściwą jednostką.