Procent oznacza setną część całości. Punkt procentowy opisuje natomiast różnicę między dwiema wartościami zapisanymi w procentach. Wzrost z dwudziestu do dwudziestu pięciu procent można więc opisać na dwa sposoby, które odpowiadają na różne pytania.
1. Co jest całością, czyli sto procent?
Jeśli klasa liczy dwadzieścia osób, całą klasę uznajemy za \(100\%\). Połowa klasy to dziesięć osób, czyli \(50\%\). Gdy mówimy o procencie ceny, całością jest wskazana cena. Sama informacja „dwadzieścia procent” nie podaje jeszcze konkretnej liczby osób ani kwoty: trzeba wiedzieć, dwadzieścia procent czego.
Symbol procenta zastępuje dzielenie przez sto: \(1\%=\frac1{100}=0{,}01\), \(25\%=\frac{25}{100}=0{,}25\). Dlatego \(100\%=1\) całej wielkości, a \(150\%=1{,}5\) tej wielkości. Procent może przekraczać sto, na przykład gdy nowa cena stanowi półtorej poprzedniej.
2. Obliczanie części i obliczanie procentu
Aby znaleźć \(15\%\) z dwustu czterdziestu, najpierw zamieniamy procent na ułamek: \(15\%=0{,}15\). Następnie mnożymy \(0{,}15\cdot240=36\). Można też obliczyć dziesięć procent, czyli dwadzieścia cztery, oraz pięć procent, czyli dwanaście, i dodać te części.
Jeśli znamy część i całość, pytanie odwracamy. Osiemnastu spośród sześćdziesięciu uczniów to \(\frac{18}{60}=0{,}3\) wszystkich uczniów, czyli \(30\%\). W mianowniku jest całość, nie wybrana grupa.
\(W\) oznacza dodatnią całość, \(C\) część, a \(p\) liczbę procentów. Ułamek \(C/W\) jest udziałem, który dopiero przeliczamy na procenty.
3. Podwyżka i obniżka: skąd biorą się mnożniki?
Podwyżka o osiem procent oznacza zachowanie całej dawnej wartości i dodanie ośmiu procent tej wartości. Razem zostaje \(108\%=1{,}08\) starej wartości. Cena pięćset złotych rośnie do \(500\cdot1{,}08=540\) złotych. Przy obniżce o osiem procent zostaje \(92\%=0{,}92\), więc \(500\cdot0{,}92=460\).
Ogólny mnożnik podwyżki o \(p\%\) to \(1+\frac p{100}\), a obniżki to \(1-\frac p{100}\). W typowym zadaniu o cenie obniżka mieści się od zera do stu procent. „Obniżono o dwadzieścia procent” pozostawia osiemdziesiąt procent; „obniżono do dwudziestu procent” pozostawia jedynie dwadzieścia procent.
Jeśli nowa cena po obniżce o dwadzieścia procent wynosi czterysta złotych, znamy osiemdziesiąt procent starej ceny. Odtwarzamy całość przez dzielenie: \(400:0{,}8=500\). Dodanie dwudziestu procent do czterystu dałoby czterysta osiemdziesiąt, czyli inny wynik.
4. Procent a punkt procentowy
Załóżmy, że udział osób wybierających odpowiedź A wzrósł z \(20\%\) do \(25\%\). Różnica zapisanych wskaźników to pięć punktów procentowych, w skrócie pięć p.p. Ten sposób opisuje odległość między procentami.
Jeśli pytanie brzmi „o ile procent wzrósł wskaźnik względem poprzedniego?”, porównujemy przyrost pięć z początkowym poziomem dwadzieścia: \(\frac{25-20}{20}\cdot100\%=25\%\). Odpowiedzi pięć p.p. oraz dwadzieścia pięć procent są więc zgodne, ale opisują różne wielkości.
Podobnie wzrost z \(40\%\) do \(50\%\) to dziesięć p.p., natomiast względnie \(\frac{50-40}{40}\cdot100\%=25\%\). Względnej zmiany nie wyznaczymy tą metodą, jeśli wskaźnik początkowy jest zerowy, ponieważ nie wolno dzielić przez zero. Różnicę w punktach procentowych można wtedy nadal podać.
5. Dwie kolejne zmiany
Cena osiemset złotych rośnie o piętnaście procent, a potem maleje o dwadzieścia procent. Drugi procent dotyczy już nowej ceny. Nie odejmujemy więc bezpośrednio piętnastu i dwudziestu.
- Po podwyżce zachowujemy sto piętnaście procent ceny początkowej.\(800\cdot1{,}15=920\)
- Obniżka pozostawia osiemdziesiąt procent aktualnych dziewięciuset dwudziestu złotych.\(920\cdot0{,}80=736\)
- Porównaj końcową cenę z początkową.\(\frac{800-736}{800}\cdot100\%=8\%\)
Łącznie cena spadła o osiem procent. To samo wynika z mnożników: \(1{,}15\cdot0{,}80=0{,}92\), więc zostało dziewięćdziesiąt dwa procent dawnej wartości. Podwyżka i obniżka o dziesięć procent nie znoszą się: \(1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99\), czyli zostaje o jeden procent mniej.
6. Jak rozpoznać, czego dotyczy pytanie?
Przy każdym zadaniu nazwij całość. Pytanie „ile wynosi część?” prowadzi do mnożenia, „jaki to procent?” do podzielenia części przez całość, a „o ile punktów procentowych?” do różnicy wskaźników. Podaj odpowiedź w jednostkach zgodnych z pytaniem: złote, osoby, procenty lub punkty procentowe.