Procenty i punkty procentowe

Wyobraź sobie sklep, w którym cena kurtki została obniżona o 20%, a później podwyższona o 20%. Mimo identycznych liczb cena nie wraca do wartości początkowej, ponieważ oba procenty liczymy od innej podstawy. Procent zawsze opisuje część konkretnej całości.

Czym jest procent?

Jeden procent oznacza jedną setną całości. Zapis p% jest równoważny ułamkowi p/100. Dlatego 25% = 25/100 = 1/4 = 0,25.

• 10% liczby 80 to 0,10 · 80 = 8.
• 35% liczby 200 to 0,35 · 200 = 70.
• 150% liczby 40 to 1,5 · 40 = 60.

Trzy podstawowe typy zadań procentowych

Większość zadań można sprowadzić do jednego z trzech pytań:

• Jaką częścią liczby jest dany procent?
• Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba?
• Jaka była całość, jeśli znamy jej część procentową?

Aby obliczyć p% liczby x, stosujemy wzór p/100 · x. Aby sprawdzić, jakim procentem liczby x jest liczba y, obliczamy y/x · 100%. Jeśli p% pewnej liczby wynosi y, to całość jest równa y : (p/100).

Podwyżki i obniżki procentowe

Po podwyżce o p% nową wartość otrzymujemy przez pomnożenie wartości początkowej przez 1 + p/100. Po obniżce mnożymy przez 1 - p/100.

• Podwyżka o 15%: mnożymy przez 1,15.
• Obniżka o 20%: mnożymy przez 0,80.
• Wzrost o 100% oznacza podwojenie wartości.

Kolejne zmiany procentowe wykonujemy jedna po drugiej. Nie wolno po prostu dodawać procentów, jeśli każda zmiana jest liczona od nowej wartości.

Procent a punkt procentowy

Punkt procentowy służy do porównywania dwóch wartości wyrażonych w procentach. Jeżeli poparcie wzrosło z 30% do 36%, to wzrost wynosi 6 punktów procentowych. Jednocześnie jest to wzrost względny o 20%, ponieważ 6 stanowi 20% liczby 30.

• Zmiana z 12% na 15% to wzrost o 3 punkty procentowe.
• Wzrost względny wynosi 3/12 · 100% = 25%.
• Punkty procentowe odejmujemy, a zmianę procentową odnosimy do wartości początkowej.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim C-P-R: Całość, Procent, Rezultat. Najpierw ustal, co jest całością, potem zamień procent na ułamek dziesiętny, a na końcu oblicz rezultat. Wyobraź sobie gigantyczny tort oznaczony literą C. Robot P kroi go na sto części, a robot R zabiera dokładnie tyle kawałków, ile wskazuje procent.

Przykład krok po kroku

Cena produktu wynosiła 500 zł. Najpierw obniżono ją o 20%, a następnie nową cenę podwyższono o 10%. Oblicz cenę końcową.

• Krok 1: Obniżka o 20% oznacza mnożenie przez 0,80.
• Krok 2: 500 · 0,80 = 400 zł.
• Krok 3: Podwyżka o 10% oznacza mnożenie przez 1,10.
• Krok 4: 400 · 1,10 = 440 zł.
• Wynik: cena końcowa wynosi 440 zł.
• Kontrola: cena nie wróciła do 500 zł, ponieważ podwyżkę liczono od mniejszej podstawy.

Przykład z punktami procentowymi

Udział uczniów zdających egzamin wzrósł z 60% do 72%.

• Zmiana w punktach procentowych: 72% - 60% = 12 punktów procentowych.
• Zmiana procentowa: 12/60 · 100% = 20%.

Najczęstsze błędy

• Mylenie wzrostu o 5% ze wzrostem o 5 punktów procentowych.
• Liczenie kolejnych zmian procentowych od wartości początkowej zamiast od aktualnej.
• Dodawanie procentów przy następujących po sobie podwyżkach i obniżkach.
• Brak ustalenia, która wartość jest podstawą porównania.
• Zapominanie o zamianie procentu na ułamek dziesiętny.

Najczęstsze pytania