Logarytm odpowiada na pytanie: „Do jakiej potęgi podnieść daną liczbę, aby otrzymać wskazany wynik?”. Na przykład logarytm z ośmiu przy podstawie dwa wynosi trzy, ponieważ \(2^3=8\). Wynikiem logarytmu jest wykładnik potęgi.
1. Najpierw przypomnij sobie potęgowanie
W \(2^3=8\) dwójka jest podstawą, trójka wykładnikiem, a osiem wynikiem. Logarytm odwraca pytanie: znamy podstawę dwa i wynik osiem, szukamy wykładnika. Zapisujemy \(\log_2 8=3\). Mała liczba przy symbolu log to podstawa, a liczba za nim to argument.
Zacznij od kilku znanych potęg: \(2^1=2\), \(2^2=4\), \(2^3=8\), \(2^4=16\). Odczytane w drugą stronę dają kolejno logarytmy przy podstawie dwa równe jeden, dwa, trzy i cztery. To nie jest dzielenie argumentu przez podstawę: \(\log_2 8\) wynosi trzy, a nie cztery.
Podstawa to \(a\), argument to \(b\), a szukany wykładnik to \(c\). Podwójną strzałkę czytamy „wtedy i tylko wtedy”: oba zapisy przekazują tę samą informację.
2. Warunki istnienia i wyniki zerowe lub ujemne
W szkolnej definicji logarytmu wymagamy dodatniej podstawy różnej od jedności oraz dodatniego argumentu: \(a\gt0\), \(a\ne1\), \(b\gt0\). Potęgi dodatniej podstawy są dodatnie, więc nie otrzymamy z nich zera ani liczby ujemnej. Podstawa jeden jest wykluczona, bo każda jej potęga daje jeden i nie da się jednoznacznie odtworzyć wykładnika.
Logarytm może jednak mieć ujemny wynik. \(\log_3\frac19=-2\), ponieważ \(3^{-2}=\frac1{3^2}=\frac19\). Ujemny wynik jest czymś innym niż ujemny argument. Mamy też \(\log_5 1=0\), bo \(5^0=1\), oraz \(\log_5 5=1\), bo \(5^1=5\).
Podstawa może być ułamkiem między zerem a jedynką: \(\log_{1/2}8=-3\), ponieważ \((\frac12)^{-3}=8\). Jeśli argument zawiera literę, ustal warunek przed liczeniem. Dla \(\log_2(x-3)\) trzeba mieć \(x-3\gt0\), czyli \(x\gt3\). Zapis \(\gt\) oznacza „większe od”; równość z zerem nie wystarcza.
3. Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi
Zobacz związek z prawami potęg: \(2^2\cdot2^3=2^5\). Po pomnożeniu argumentów cztery i osiem wykładniki się dodają. Dlatego \(\log_2(4\cdot8)=\log_2 4+\log_2 8=2+3=5\).
- Iloczyn: \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\).
- Iloraz: \(\log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y\).
- Potęga: \(\log_a(x^r)=r\log_a x\).
W tych trzech zapisach \(a\gt0\), \(a\ne1\), \(x\gt0\) i \(y\gt0\), a \(r\) jest rzeczywiste. Logarytmy łączymy tymi prawami, gdy mają tę samą podstawę. Przykładowo \(\log_3 9^2=2\log_3 9=2\cdot2=4\). Nie dodajemy tutaj dwójki do logarytmu, tylko go przez nią mnożymy.
Nie stosuj wzoru na iloraz do argumentów ujemnych tylko dlatego, że ich iloraz jest dodatni. \(\log_2\frac{-8}{-2}\) jest określony po obliczeniu ilorazu cztery, ale osobne logarytmy z minus ośmiu i minus dwóch nie istnieją w liczbach rzeczywistych.
4. Wybór własności w pełnym przykładzie
Oblicz \(\log_2 32-\log_2 4\). Są to logarytmy o tej samej podstawie, połączone odejmowaniem. Pasuje reguła logarytmu ilorazu.
- Zastąp różnicę logarytmów jednym logarytmem ilorazu.\(\log_2 32-\log_2 4=\log_2\frac{32}{4}\)
- Oblicz argument.\(\log_2\frac{32}{4}=\log_2 8\)
- Sprawdź, który wykładnik dwójki daje osiem.\(2^3=8\quad\Rightarrow\quad\log_2 8=3\)
Możemy skontrolować wynik osobnym liczeniem: \(\log_2 32=5\) i \(\log_2 4=2\), więc różnica wynosi trzy. W trudniejszych zadaniach połączenie logarytmów pomaga, gdy osobne wartości nie są całkowite: \(\log_2 3+\log_2\frac83=\log_2 8=3\). Nie trzeba wtedy przybliżać obu składników.
5. Zamiana podstawy i odczytywanie równania
Czasem chcemy wyrazić logarytm za pomocą logarytmów o innej podstawie. Dla dopuszczalnych podstaw \(a,c\) i dodatniego \(b\) zachodzi \(\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\). W liczniku zostaje argument, a w mianowniku pojawia się stara podstawa. Nowa podstawa \(c\) musi być dodatnia i różna od jedności.
Na przykład \(\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac32\). Sprawdzenie potęgą: \(4^{3/2}=(\sqrt4)^3=2^3=8\). Przestawienie licznika z mianownikiem dałoby błędną odwrotność.
Jeśli podano \(\log_3 x=4\), nie dzielimy ani nie mnożymy przez log. Wracamy do definicji: \(x=3^4=81\). Jeśli zapisano \(\log_5(2x-6)\), warunek argumentu daje \(2x-6\gt0\), a po dodaniu sześciu i podzieleniu przez dwa otrzymujemy \(x\gt3\).
6. Logarytm sumy i kontrola odpowiedzi
Najpierw sprawdź podstawę i argument, potem nazwij działanie między logarytmami. Odpowiedź liczbową kontroluj przez potęgowanie. Dla wyniku \(c\) powinno zachodzić \(a^c=b\). Umiejętność przetłumaczenia logarytmu na pytanie o wykładnik jest ważniejsza niż zapamiętanie samego wyglądu wzorów.