Logarytmy i działania na logarytmach

Wyobraź sobie sejf zamykany potęgą. Wiesz, że podstawa to 2, a wynik to 8, lecz brakuje wykładnika. Logarytm pozwala go odnaleźć: ponieważ 2³ = 8, mamy log₂8 = 3. Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania.

Definicja logarytmu

Dla liczb a, b i c zapis log_ab = c oznacza, że a^c = b. Liczba a jest podstawą logarytmu, b liczbą logarytmowaną, a c wartością logarytmu.

• log₂8 = 3, ponieważ 2³ = 8.
• log₁₀1000 = 3, ponieważ 10³ = 1000.
• log₃(1/9) = -2, ponieważ 3^-2 = 1/9.

Warunki istnienia logarytmu

Aby logarytm był określony w zbiorze liczb rzeczywistych, muszą zachodzić trzy warunki:

• Podstawa musi być dodatnia: a > 0.
• Podstawa nie może być równa 1: a ≠ 1.
• Liczba logarytmowana musi być dodatnia: b > 0.

Dlatego log_-28, log₁5 oraz log₃(-9) nie są określone w liczbach rzeczywistych.

Podstawowe wartości

• log_a1 = 0, ponieważ a⁰ = 1.
• log_aa = 1, ponieważ a¹ = a.
• log_a(a^x) = x.
• a^log_ax = x dla x > 0.

Prawa działań na logarytmach

Dla dodatnich x i y oraz poprawnej podstawy a zachodzą następujące zależności:

• log_a(xy) = log_ax + log_ay.
• log_a(x/y) = log_ax - log_ay.
• log_a(x^r) = r · log_ax.

Reguły te działają tylko dla iloczynu, ilorazu i potęgi. Nie istnieje ogólna zasada log_a(x + y) = log_ax + log_ay.

Zmiana podstawy logarytmu

Logarytm można zapisać przy użyciu innej podstawy. Korzystamy ze wzoru log_ab = log_cb / log_ca. Najczęściej używa się logarytmu dziesiętnego lub naturalnego.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim I-I-P: Iloczyn zamienia się w sumę, Iloraz w różnicę, Potęga schodzi przed logarytm. Wyobraź sobie logarytm jako ogromną bramę. Iloczyn przechodząc przez bramę rozpada się na dwa plusy, iloraz na znak minus, a wykładnik zeskakuje z góry i staje przed całym wyrażeniem.

Przykład krok po kroku

Oblicz wartość: log₂32 - log₂4 + log₂2.

• Krok 1: log₂32 = 5, ponieważ 2⁵ = 32.
• Krok 2: log₂4 = 2, ponieważ 2² = 4.
• Krok 3: log₂2 = 1.
• Krok 4: Oblicz 5 - 2 + 1 = 4.
• Wynik: 4.

Przykład z prawami logarytmów

Uprość wyrażenie log₃9 + log₃27.

• Można obliczyć osobno: 2 + 3 = 5.
• Można też połączyć: log₃(9 · 27) = log₃243 = 5.

Najczęstsze błędy

• Logarytmowanie liczby niedodatniej.
• Używanie podstawy równej 1 lub niedodatniej.
• Rozbijanie logarytmu sumy na sumę logarytmów.
• Mylenie log_ab z b/a.
• Pomijanie warunków dziedziny przed przekształceniami.

Najczęstsze pytania