Usuwanie niewymierności z mianownika

Wyobraź sobie, że mianownik ułamka jest drzwiami, przez które musi przejść wynik. Gdy w drzwiach stoi pierwiastek, zapis jest mniej wygodny do dalszych obliczeń. Usuwanie niewymierności z mianownika polega na takim przekształceniu ułamka, aby pierwiastek zniknął z mianownika, a wartość całego wyrażenia pozostała bez zmian.

Dlaczego można zmienić postać ułamka?

Każdy ułamek można pomnożyć przez 1 bez zmiany jego wartości. W praktyce wybieramy liczbę 1 zapisaną jako iloraz dwóch takich samych wyrażeń. Na przykład √3/√3 = 1, dlatego pomnożenie ułamka przez √3/√3 nie zmienia jego wartości.

Mianownik postaci √a

Jeżeli w mianowniku znajduje się pojedynczy pierwiastek kwadratowy, mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek. Korzystamy z zależności √a · √a = a dla a ≥ 0.

• 1/√3 = √3/(√3 · √3) = √3/3.
• 5/√2 = 5√2/2.
• 3/(2√5) = 3√5/(2 · 5) = 3√5/10.

Przed wykonaniem działania warto sprawdzić, czy ułamek można najpierw skrócić lub uprościć.

Mianownik postaci a√b

Jeżeli mianownik zawiera liczbę stojącą przed pierwiastkiem, mnożymy licznik i mianownik przez sam pierwiastek. Liczba znajdująca się przed nim pozostaje w mianowniku.

• 2/(3√7) = 2√7/(3 · 7) = 2√7/21.
• 6/(5√3) = 6√3/15 = 2√3/5.

Mianownik z sumą lub różnicą

Gdy mianownik ma postać a + √b albo a - √b, samo pomnożenie przez pierwiastek nie wystarczy. Używamy wtedy wyrażenia sprzężonego. Sprzężeniem sumy a + √b jest różnica a - √b, a sprzężeniem różnicy a - √b jest suma a + √b.

Mechanizm opiera się na wzorze skróconego mnożenia (a + b)(a - b) = a² - b². Po pomnożeniu przez wyrażenie sprzężone pierwiastki w mianowniku znikają.

• 1/(2 + √3) · (2 - √3)/(2 - √3) = (2 - √3)/(4 - 3) = 2 - √3.
• 1/(√5 - 2) · (√5 + 2)/(√5 + 2) = (√5 + 2)/(5 - 4) = √5 + 2.

Mianownik z dwoma pierwiastkami

Jeżeli mianownik ma postać √a + √b lub √a - √b, również korzystamy ze sprzężenia. Iloczyn wyrażeń sprzężonych daje różnicę liczb pod pierwiastkami.

• 1/(√5 + √2) = (√5 - √2)/(5 - 2) = (√5 - √2)/3.
• 3/(√7 - √3) = 3(√7 + √3)/(7 - 3) = 3(√7 + √3)/4.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-S-I: Rozpoznaj mianownik, Sprzęż lub dobierz pierwiastek, Iloczyn uprość. Wyobraź sobie pierwiastek jako nieproszony gość stojący w drzwiach. Jeśli jest sam, dajesz mu identycznego bliźniaka. Jeśli stoi obok plusa lub minusa, przywołujesz jego lustrzane odbicie ze znakiem przeciwnym. Po zderzeniu pierwiastki znikają z mianownika.

Przykład krok po kroku

Usuń niewymierność z mianownika wyrażenia 4/(3 - √5).

• Krok 1: Rozpoznaj mianownik jako różnicę liczby i pierwiastka.
• Krok 2: Dobierz wyrażenie sprzężone 3 + √5.
• Krok 3: Pomnóż licznik i mianownik przez 3 + √5.
• Krok 4: Licznik ma postać 4(3 + √5) = 12 + 4√5.
• Krok 5: Mianownik oblicz ze wzoru na różnicę kwadratów: 3² - (√5)² = 9 - 5 = 4.
• Krok 6: Skróć przez 4: (12 + 4√5)/4 = 3 + √5.
• Wynik: 3 + √5.

Kontrola poprawności

Po racjonalizacji sprawdź trzy rzeczy: w mianowniku nie ma pierwiastka, licznik i mianownik zostały pomnożone przez to samo wyrażenie oraz wynik został skrócony. Można też oszacować wartości obu postaci dziesiętnie, aby upewnić się, że są równe.

Najczęstsze błędy

• Mnożenie tylko mianownika zamiast licznika i mianownika.
• Dobranie niewłaściwego sprzężenia i pozostawienie tego samego znaku.
• Błędne obliczenie (a + b)(a - b) jako a² + b².
• Zapominanie, że (√a)² = a.
• Brak skrócenia ułamka po wykonaniu racjonalizacji.

Najczęstsze pytania