Usuwanie niewymierności z mianownika polega na zapisaniu ułamka w równoważnej postaci bez niewymiernego wyrażenia pod kreską. Na przykład \(\frac1{\sqrt2}\) i \(\frac{\sqrt2}{2}\) są tą samą liczbą. Zmieniamy sposób zapisu, a nie wartość.
1. Co chcemy zmienić i dlaczego wolno to zrobić?
Mianownik to dolna część ułamka. Liczba niewymierna nie daje się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych; takim przykładem jest \(\sqrt2\). W zadaniach często chcemy usunąć pierwiastek z mianownika, aby łatwiej porównywać, dodawać lub przedstawiać wynik w wymaganej postaci.
Przypomnij sobie rozszerzanie: \(\frac12=\frac{1\cdot3}{2\cdot3}=\frac36\). Mnożymy licznik i mianownik przez tę samą niezerową liczbę, więc cały ułamek mnożymy przez jeden. Identyczna zasada działa dla pierwiastków: \(\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=1\).
Nie wolno pomnożyć samego mianownika, bo zmieniłoby to wartość ułamka. Liczba użyta do rozszerzenia musi być niezerowa. Pierwiastek w mianowniku sam w sobie nie oznacza, że zapis jest niepoprawny; racjonalizacja jest przekształceniem do innej postaci dokładnej.
2. Jeden pierwiastek w mianowniku
Z definicji \(\sqrt5\cdot\sqrt5=5\). To podpowiada wybór czynnika: aby usunąć \(\sqrt5\) z mianownika, rozszerzamy ułamek właśnie przez \(\sqrt5\). Rozważmy \(\frac3{\sqrt5}\).
- Zapisz mnożenie przez jeden w postaci dopasowanej do mianownika.\(\frac3{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt5}\)
- Pomnóż osobno licznik i mianownik.\(\frac{3\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5}\)
- Kwadrat pierwiastka zastąp liczbą pod pierwiastkiem.\(\frac{3\sqrt5}{5}\)
Warunek \(b\gt0\) oznacza, że pierwiastek istnieje w liczbach rzeczywistych i nie jest zerem.
Jeśli przy pierwiastku stoi liczba, pozostaje ona w mianowniku: \(\frac3{2\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{2\cdot5}=\frac{3\sqrt5}{10}\). Na końcu skracamy wspólne czynniki, jeśli istnieją. Na przykład \(\frac4{\sqrt2}=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\).
3. Dlaczego przy sumie potrzebne jest sprzężenie?
W mianowniku \(3+\sqrt5\) samo mnożenie przez \(\sqrt5\) daje \(3\sqrt5+5\), więc pierwiastek pozostaje. Potrzebujemy czynnika, który spowoduje zniesienie składników z pierwiastkiem. Tym czynnikiem jest \(3-\sqrt5\). Takie dwa wyrażenia nazywamy sprzężonymi: mają te same składniki i przeciwny znak między nimi.
Zobacz zwykłe mnożenie nawiasów: \((3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=9-3\sqrt5+3\sqrt5-5\). Środkowe składniki się znoszą, a pozostaje \(9-5=4\). To zastosowanie wzoru \((u+v)(u-v)=u^2-v^2\), nazywanego różnicą kwadratów.
Zmiana znaku dotyczy znaku między składnikami. Sprzężeniem \(7-\sqrt2\) jest \(7+\sqrt2\), a nie \(-7+\sqrt2\). Najpierw rozpoznaj oba składniki, potem odwróć łączący je znak.
4. Cały przykład z sumą w mianowniku
Usuń niewymierność z \(\frac2{3+\sqrt5}\). Rozszerzamy przez \(3-\sqrt5\), które nie jest zerem, ponieważ \(3^2=9\ne5\). Licznik przyjmuje postać \(2(3-\sqrt5)\), a mianownik iloczynu wyrażeń sprzężonych.
Dostajemy \(\frac{2(3-\sqrt5)}{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}=\frac{2(3-\sqrt5)}{9-5}=\frac{2(3-\sqrt5)}4\). Teraz skracamy wspólny czynnik dwa: wynik to \(\frac{3-\sqrt5}{2}\). Można też rozwinąć licznik do \(6-2\sqrt5\), lecz postać z nawiasem ułatwia skracanie.
Sprawdzenie wykonujemy przez pomnożenie otrzymanego wyniku przez pierwotny mianownik: \(\frac{3-\sqrt5}{2}(3+\sqrt5)=\frac{9-5}{2}=2\). Odtworzyliśmy pierwotny licznik, więc obie postacie ułamka są równe.
5. Dwa pierwiastki i mianownik z różnicą
W \(\frac1{\sqrt7+\sqrt3}\) wybieramy sprzężenie \(\sqrt7-\sqrt3\). Iloczyn w mianowniku to \((\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2=7-3=4\). Wynik ma postać \(\frac{\sqrt7-\sqrt3}{4}\). Znów usuwamy pierwiastki tylko z mianownika; w liczniku mogą pozostać.
Dla \(\frac2{\sqrt3-1}\) rozszerzamy przez \(\sqrt3+1\). Mianownik wynosi \(3-1=2\), zatem \(\frac{2(\sqrt3+1)}2=\sqrt3+1\). Zachowujemy znak różnicy kwadratów, a dopiero później upraszczamy.
Przed rozpoczęciem sprawdź, czy wyjściowy mianownik nie jest zerem. Zapis \(\frac1{\sqrt4-2}\) nie istnieje, bo \(\sqrt4=2\). Nie naprawi go żadne rozszerzanie. Jeśli dwa pierwiastki są jednakowe, najpierw uprość ich sumę: \(\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\), zamiast mnożyć przez zerowe sprzężenie.
6. Pułapki i wybór metody
Przy jednym pierwiastku dobierz ten sam pierwiastek. Przy sumie lub różnicy dwóch składników sprawdź wyrażenie sprzężone. Pomnóż cały licznik i cały mianownik, oblicz różnicę kwadratów i skróć wynik. Nie zastępuj dokładnego pierwiastka zaokrągleniem, gdy polecenie wymaga dokładnej postaci.