Pierwiastki i działania na pierwiastkach

Wyobraź sobie kwadrat o polu 49 cm². Aby znaleźć długość jego boku, trzeba odpowiedzieć na pytanie: jaka liczba pomnożona przez samą siebie daje 49? Odpowiedź to 7, dlatego √49 = 7. Pierwiastek pozwala więc cofnąć potęgowanie i odnaleźć ukrytą podstawę.

Czym jest pierwiastek?

Pierwiastek kwadratowy z liczby a to taka nieujemna liczba b, dla której b² = a. Zapisujemy to jako √a = b. W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastek kwadratowy istnieje tylko dla a ≥ 0.

• √25 = 5, ponieważ 5² = 25.
• √0 = 0.
• √2 jest liczbą niewymierną.
• √(-9) nie jest liczbą rzeczywistą.

Należy odróżnić zapis √9 = 3 od równania x² = 9, które ma dwa rozwiązania: x = 3 oraz x = -3. Symbol pierwiastka oznacza zawsze główny pierwiastek nieujemny.

Pierwiastki wyższych stopni

Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a zapisujemy jako ⁿ√a. Szukamy liczby b, dla której bⁿ = a. Gdy n jest parzyste, liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna. Gdy n jest nieparzyste, można pierwiastkować także liczby ujemne.

• ³√8 = 2, ponieważ 2³ = 8.
• ³√(-27) = -3, ponieważ (-3)³ = -27.
• ⁴√16 = 2.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Aby uprościć pierwiastek, rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym jeden czynnik jest pełnym kwadratem. Korzystamy z zależności √(ab) = √a · √b dla a ≥ 0 i b ≥ 0.

• √12 = √(4 · 3) = √4 · √3 = 2√3.
• √50 = √(25 · 2) = 5√2.
• √72 = √(36 · 2) = 6√2.

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Dodatni czynnik stojący przed pierwiastkiem można włączyć pod znak pierwiastka, podnosząc go do kwadratu: a√b = √(a²b) dla a ≥ 0.

• 3√2 = √(9 · 2) = √18.
• 2√5 = √(4 · 5) = √20.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Można dodawać lub odejmować tylko takie wyrażenia, które po uproszczeniu mają ten sam pierwiastek. Działamy wtedy podobnie jak przy wyrazach podobnych w algebrze.

• 2√3 + 5√3 = 7√3.
• 4√2 - √2 = 3√2.
• √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
• √2 + √3 nie da się uprościć do jednego pierwiastka.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Dla liczb nieujemnych zachodzą zależności √a · √b = √(ab) oraz √a : √b = √(a/b), gdy b > 0.

• √3 · √12 = √36 = 6.
• 2√5 · 3√2 = 6√10.
• √48 : √3 = √16 = 4.

Usuwanie niewymierności z mianownika

W szkolnym zapisie zwykle nie pozostawia się pierwiastka w mianowniku. Dla wyrażenia 1/√a mnożymy licznik i mianownik przez √a. Otrzymujemy 1/√a = √a/a dla a > 0.

• 1/√3 = √3/3.
• 2/√5 = 2√5/5.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-U-P: Rozłóż liczbę, Uwolnij pełny kwadrat, Połącz podobne pierwiastki. Wyobraź sobie pierwiastek jako ogromne więzienie. Pełne kwadraty, takie jak 4, 9, 16 i 25, mają specjalne klucze i mogą wyjść na zewnątrz jako 2, 3, 4 i 5. Reszta zostaje pod znakiem pierwiastka.

Przykład krok po kroku

Uprość wyrażenie: √48 + 2√12 - √27.

• Krok 1: Rozłóż liczby pod pierwiastkami: 48 = 16 · 3, 12 = 4 · 3, 27 = 9 · 3.
• Krok 2: Wyłącz pełne kwadraty: √48 = 4√3, √12 = 2√3, √27 = 3√3.
• Krok 3: Uwzględnij współczynnik: 2√12 = 2 · 2√3 = 4√3.
• Krok 4: Połącz wyrazy podobne: 4√3 + 4√3 - 3√3 = 5√3.
• Wynik: 5√3.

Najczęstsze błędy

• Przyjmowanie, że √(a + b) = √a + √b. Taka reguła na ogół nie zachodzi.
• Zapisywanie √9 jako ±3. Symbol √9 oznacza tylko 3.
• Dodawanie pierwiastków o różnych liczbach pod znakiem bez wcześniejszego uproszczenia.
• Wyłączanie czynnika, który nie jest pełnym kwadratem.
• Pomijanie warunku nieujemności liczby pod pierwiastkiem parzystego stopnia.

Najczęstsze pytania