Pierwiastek kwadratowy z liczby to nieujemna liczba, której kwadrat daje liczbę pod znakiem pierwiastka. Na przykład \(\sqrt9=3\), ponieważ \(3\cdot3=9\). Pierwiastki pozwalają zapisywać takie wartości dokładnie także wtedy, gdy nie są liczbami całkowitymi.
1. Jak odczytać pierwiastek i jego stopień?
W \(\sqrt{25}\) liczba dwadzieścia pięć znajduje się pod pierwiastkiem. Niepisany mały stopień to dwa. Pytamy o nieujemną liczbę, której kwadrat wynosi dwadzieścia pięć: odpowiedź to pięć. Zapis \(\sqrt[3]{8}\) ma widoczny stopień trzy i pyta o liczbę, której sześcian wynosi osiem. Odpowiedź to dwa, bo \(2\cdot2\cdot2=8\).
Wyobraź sobie kwadrat o polu dziewięciu jednostek kwadratowych. Długość jego boku wynosi trzy jednostki, gdyż pole obliczamy, mnożąc bok przez siebie. To geometryczny sens pierwiastka kwadratowego z pola. Długość boku nie może być ujemna.
Nie myl wartości pierwiastka z rozwiązaniami równania. Symbol \(\sqrt9\) ma jedną wartość: trzy. Równanie \(x^2=9\) ma dwa rozwiązania, trzy i minus trzy, bo obie liczby po podniesieniu do kwadratu dają dziewięć.
2. Kiedy pierwiastek istnieje?
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Dlatego \(\sqrt{-9}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych, a \(\sqrt0=0\). Ta sama zasada dotyczy wszystkich parzystych stopni pierwiastka.
Dla nieparzystego stopnia wynik może być ujemny: \(\sqrt[3]{-8}=-2\), bo \((-2)^3=-8\). Pierwiastek trzeciego stopnia istnieje z każdej liczby rzeczywistej. Zanim użyjesz reguły, odczytaj więc stopień.
W \(\sqrt{x^2}\) wynik nie może być ujemny nawet wtedy, gdy \(x\) jest ujemne. Dla \(x=-7\) dostajemy \(\sqrt{49}=7\). Ogólnie \(\sqrt{x^2}=|x|\), gdzie kreski oznaczają wartość bezwzględną, czyli odległość od zera. Stąd \(\sqrt{9x^2}=3|x|\), nie zawsze \(3x\).
3. Jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek?
Pełny kwadrat to liczba powstała z podniesienia liczby całkowitej do kwadratu, na przykład cztery, dziewięć, szesnaście lub trzydzieści sześć. Przy upraszczaniu szukamy takiego czynnika w liczbie pod pierwiastkiem. Dla siedemdziesięciu dwóch wygodne jest \(72=36\cdot2\).
Pierwiastek iloczynu nieujemnych liczb można rozdzielić na iloczyn pierwiastków. Dzięki temu obliczamy znany pierwiastek, a drugi zostawiamy w dokładnej postaci.
- Rozłóż liczbę na pełny kwadrat i pozostały czynnik.\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}\)
- Zastosuj wzór do iloczynu nieujemnych liczb.\(\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt2\)
- Oblicz pierwiastek z trzydziestu sześciu.\(\sqrt{72}=6\sqrt2\)
To samo otrzymasz, zaczynając od \(72=4\cdot18\): najpierw \(2\sqrt{18}\), a potem \(2\cdot3\sqrt2=6\sqrt2\). Sprawdzenie: kwadrat nieujemnego wyniku wynosi \((6\sqrt2)^2=36\cdot2=72\). W drugą stronę możesz włączyć nieujemny czynnik: \(3\sqrt2=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}\). Ujemny znak pozostaje na zewnątrz: \(-3\sqrt2=-\sqrt{18}\).
4. Dodawanie, mnożenie i dzielenie
Wyrażenie \(3\sqrt5\) oznacza trzy razy tę samą liczbę \(\sqrt5\). Dlatego \(3\sqrt5+2\sqrt5=5\sqrt5\). Dodajemy liczbę takich samych porcji, pozostawiając pierwiastek. W \(\sqrt2+\sqrt3\) porcje nie są takie same, więc zapis zostaje sumą.
Czasem podobieństwo ujawnia się dopiero po uproszczeniu: \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3\). Najpierw wyłączyliśmy czynniki z obu pierwiastków, a dopiero potem dodaliśmy współczynniki dwa i trzy.
Przy mnożeniu nie trzeba mieć jednakowych liczb pod pierwiastkami: \(\sqrt6\cdot\sqrt{24}=\sqrt{144}=12\). Przy dzieleniu \(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}\) dla \(a\ge0\) i \(b\gt0\). Na przykład \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{25}=5\). Dodatni mianownik pod pierwiastkiem zapobiega dzieleniu przez zero.
5. Przykład wymagający kilku kroków
Uprość \(2\sqrt8-\sqrt{18}\). Najpierw rozpisujemy \(8=4\cdot2\) i \(18=9\cdot2\), więc \(\sqrt8=2\sqrt2\), a \(\sqrt{18}=3\sqrt2\). W pierwszym składniku jest jeszcze dwójka stojąca przed pierwiastkiem: \(2\cdot2\sqrt2=4\sqrt2\).
Po podstawieniu otrzymujemy \(4\sqrt2-3\sqrt2=\sqrt2\). Nie pomijamy początkowego współczynnika i nie odejmujemy liczb pod pierwiastkami. W podobnym zadaniu z literą \(\sqrt{16x^2}=4|x|\). Dla \(x=-2\) obie postacie dają osiem, podczas gdy błędne \(4x\) dałoby minus osiem.
6. Czego nie wolno rozdzielać?
Znak pierwiastka obejmuje dokładnie to, co znajduje się pod jego kreską. Sprawdź też, czy wynik powinien być dokładny: \(\sqrt2\) jest zapisem dokładnym, a \(1{,}41\) tylko przybliżeniem. Po tej lekcji powinieneś rozróżniać pierwiastek parzystego i nieparzystego stopnia, znajdować pełne kwadraty w iloczynie i umieć uzasadnić, dlaczego pojawia się wartość bezwzględna.