Potęga jest skrótem zapisu powtarzanego mnożenia. W \(2^3\) liczba dwa to podstawa, a trzy to wykładnik: mnożymy trzy dwójki. Wykładniki zerowe, ujemne i ułamkowe rozszerzają ten zapis o jedynkę, odwrotności i pierwiastki.
1. Podstawa, wykładnik i znaczenie nawiasu
\(2^3=2\cdot2\cdot2=8\), natomiast \(3^2=3\cdot3=9\). Podstawa i wykładnik mają różne role. Zapis \(2^3\) nie oznacza \(2\cdot3\). Wykładnik jeden oznacza jeden czynnik: \(7^1=7\).
Ujemną podstawę zapisujemy w nawiasie. W \((-2)^4\) mnożymy cztery ujemne dwójki i otrzymujemy szesnaście. W \((-2)^3\) zostaje nieparzysta liczba minusów, więc wynik wynosi minus osiem. Potęga ujemnej liczby jest dodatnia dla dodatniego parzystego wykładnika i ujemna dla dodatniego nieparzystego.
Bez nawiasu \(-2^4=-(2^4)=-16\). Tutaj minus stoi przed potęgą dodatniej dwójki. Najpierw zaznacz więc, co dokładnie jest podstawą potęgi.
2. Skąd biorą się prawa potęg?
W iloczynie \(2^3\cdot2^2\) mamy trzy dwójki i jeszcze dwie, czyli razem pięć: \(2^5\). Dlatego przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki. Przy dzieleniu skracamy jednakowe czynniki: \(\frac{2^5}{2^2}=2^3\), czyli odejmujemy wykładniki.
Potęga potęgi działa inaczej: \((2^3)^2=2^3\cdot2^3=2^6\). Wykładniki mnożymy. Te reguły nie dotyczą dodawania: \(2^3+2^2=8+4=12\), a nie \(2^5=32\).
Dla całkowitych wykładników reguły obowiązują przy niezerowej podstawie. Dla dowolnych wymiernych wykładników korzystamy z nich przy \(a\gt0\), aby wszystkie zapisy były jednoznacznie określone.
Potęga iloczynu rozdziela się na czynniki: \((ab)^n=a^nb^n\). Podobnie \((\frac ab)^n=\frac{a^n}{b^n}\), gdy zapisy są określone i \(b\ne0\). Na przykład \((2\cdot3)^2=2^2\cdot3^2=36\). Dla sumy nie ma takiej reguły: \((2+3)^2=25\), a \(2^2+3^2=13\).
3. Dlaczego wykładnik zerowy daje jeden?
Dla niezerowej podstawy iloraz tej samej potęgi przez siebie wynosi jeden: \(\frac{5^3}{5^3}=1\). Reguła odejmowania wykładników daje jednocześnie \(5^{3-3}=5^0\). Dlatego przyjmujemy \(a^0=1\) dla \(a\ne0\). Zerowy wykładnik nie oznacza mnożenia podstawy przez zero.
Ujemny wykładnik oznacza odwrotność: \(2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18\). Widać to, gdy kolejne potęgi dwójki dzielimy przez dwa: \(2^2=4\), \(2^1=2\), \(2^0=1\), \(2^{-1}=\frac12\). Im niższy wykładnik, tym kolejny taki podział.
Dla \((-2)^{-2}\) najpierw obliczamy kwadrat podstawy w mianowniku: \(\frac1{(-2)^2}=\frac14\). Wynik jest dodatni. Zero można podnosić do dodatnich potęg całkowitych, ale ujemna potęga zera wymagałaby dzielenia przez zero. W tych zadaniach nie nadajemy także wartości zapisowi \(0^0\).
4. Wykładnik ułamkowy krok po kroku
Pierwiastek drugiego stopnia z dziewięciu to trzy, bo \(3^2=9\). Pierwiastek trzeciego stopnia z dwudziestu siedmiu to trzy, bo \(3^3=27\). W wykładniku \(\frac mn\) mianownik wskazuje stopień pierwiastka, a licznik potęgę. Dla dodatniej podstawy \(a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m\), gdzie \(m\) jest całkowite, a \(n\) naturalne i co najmniej dwa.
- W potędze z wykładnikiem dwie trzecie najpierw odczytaj mianownik: potrzebny jest pierwiastek sześcienny.\(27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2\)
- Znajdź liczbę, której trzecia potęga wynosi dwadzieścia siedem.\(\sqrt[3]{27}=3\)
- Podnieś otrzymaną liczbę do potęgi wskazanej przez licznik.\(3^2=9\)
Dla \(16^{-3/4}\) minus w wykładniku oznacza odwrotność. Pierwiastek czwartego stopnia z szesnastu to dwa, a trzecia potęga dwójki to osiem. Zatem \(16^{-3/4}=\frac1{(\sqrt[4]{16})^3}=\frac18\).
Przy wykładnikach wymiernych najbezpieczniej pracować z podstawą dodatnią. Ujemne liczby pod pierwiastkiem nieparzystego stopnia są dozwolone, na przykład \(\sqrt[3]{-8}=-2\), ale zapisy potęg ułamkowych ujemnej podstawy wymagają ustalonej konwencji i skróconego wykładnika. Nie przenoś na nie bez sprawdzenia wszystkich reguł dla podstaw dodatnich. Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych.
5. Upraszczanie wyrażenia z kilkoma potęgami
Uprość \(\frac{x^3\cdot x^{-5}}{x^{-1}}\) dla \(x\ne0\). Warunek jest potrzebny z powodu ujemnych wykładników i mianownika. W liczniku są dwie potęgi tej samej podstawy, więc dodajemy wykładniki: \(3+(-5)=-2\). Otrzymujemy \(\frac{x^{-2}}{x^{-1}}\).
Teraz dzielimy potęgi, więc odejmujemy wykładnik mianownika wraz z jego znakiem: \(-2-(-1)=-1\). Wynik to \(x^{-1}=\frac1x\). Możesz sprawdzić dla \(x=2\): licznik ma wartość \(8\cdot\frac1{32}=\frac14\), a dzielenie przez \(\frac12\) daje \(\frac12\). To zgadza się z \(\frac1x\). Taka próba pomaga wykryć błąd, ale dowodem tożsamości są zastosowane prawa potęg.
6. Najczęstsze pomyłki
Przy każdym przekształceniu nazwij działanie: mnożę potęgi, dzielę je czy podnoszę potęgę do potęgi? Dopiero potem wybierz dodawanie, odejmowanie lub mnożenie wykładników. Przy wykładniku ułamkowym sprawdź osobno pierwiastek, potęgowanie i ewentualną odwrotność. Nie skracaj toku rozumowania, dopóki role licznika i mianownika nie są dla Ciebie jasne.