Potęgi o wykładniku całkowitym i wymiernym

Wyobraź sobie maszynę do powielania klocków. Gdy wpiszesz 3⁴, maszyna nie mnoży liczby 3 przez 4, lecz tworzy iloczyn czterech trójek: 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Potęga jest więc skróconym zapisem wielokrotnego mnożenia.

Budowa potęgi

W zapisie aⁿ liczba a jest podstawą potęgi, a n jest wykładnikiem. Dla dodatniego wykładnika całkowitego n potęga oznacza iloczyn n jednakowych czynników równych a.

• 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
• (-3)² = (-3) · (-3) = 9.
• (-3)³ = (-3) · (-3) · (-3) = -27.

Wykładnik zerowy i ujemny

Dla każdej liczby a różnej od zera zachodzi a⁰ = 1. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność odpowiedniej potęgi dodatniej: a^-n = 1/aⁿ, przy a ≠ 0.

• 5⁰ = 1.
• 2^-3 = 1/2³ = 1/8.
• (3/4)^-2 = (4/3)² = 16/9.

Wykładnik ujemny nie zmienia znaku liczby. Informuje jedynie, że należy przejść do odwrotności.

Najważniejsze prawa działań na potęgach

Reguły potęgowania pozwalają upraszczać długie iloczyny i ilorazy. Trzeba jednak stosować je tylko wtedy, gdy spełnione są odpowiednie warunki.

• a^m · aⁿ = a^m+n — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
• a^m : aⁿ = a^m-n — przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki, gdy a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^m·n — przy potędze potęgi mnożymy wykładniki.
• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ — potęga iloczynu jest iloczynem potęg.
• (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ — potęga ilorazu jest ilorazem potęg, gdy b ≠ 0.

Wykładnik wymierny

Wykładnik wymierny zapisujemy jako ułamek. Dla odpowiednich wartości podstawy zachodzi a^1/n = ⁿ√a oraz a^m/n = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m.

Na poziomie liczb rzeczywistych trzeba zwracać uwagę na dziedzinę. Jeżeli stopień pierwiastka n jest parzysty, podstawa a musi być nieujemna. Jeżeli n jest nieparzyste, dopuszczalne są także liczby ujemne.

• 16^1/2 = √16 = 4.
• 8^1/3 = ³√8 = 2.
• 27^2/3 = (³√27)² = 2² = 4.
• (-8)^1/3 = ³√(-8) = -2.

Minus i nawias mają znaczenie

Zapis (-2)⁴ oznacza potęgowanie liczby -2 i ma wartość 16. Natomiast -2⁴ oznacza liczbę przeciwną do 2⁴, czyli -16. Nawias decyduje, czy znak minus należy do podstawy potęgi.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim M-D-M: Mnożysz potęgi — dodajesz wykładniki, Dzielisz — odejmujesz wykładniki, potęga potęgi — Mnożysz wykładniki. Wyobraź sobie trzy pokoje. W pierwszym dwa wykładniki wskakują do wielkiego worka z plusem, w drugim walczą na wadze z minusem, a w trzecim zderzają się jak kule bilardowe i zamieniają w iloczyn.

Przykład krok po kroku

Uprość wyrażenie: (2³ · 2^-5) : 2^-1.

• Krok 1: Przy mnożeniu tej samej podstawy dodaj wykładniki: 2^{3 + (-5)} = 2^-2.
• Krok 2: Przy dzieleniu odejmij wykładnik dzielnika: 2^{-2 - (-1)}.
• Krok 3: Oblicz wykładnik: -2 + 1 = -1.
• Krok 4: Otrzymujemy 2^-1 = 1/2.
• Wynik: 1/2.

Najczęstsze błędy

• Mylenie a^m + aⁿ z a^m+n. Prawo dodawania wykładników dotyczy mnożenia, nie dodawania potęg.
• Dodawanie wykładników w potędze potęgi zamiast ich mnożenia.
• Traktowanie wykładnika ujemnego jako znaku minus przed potęgą.
• Pomijanie nawiasów przy ujemnej podstawie.
• Nieuwzględnianie warunków istnienia pierwiastka parzystego stopnia w zbiorze liczb rzeczywistych.

Najczęstsze pytania