Ułamki zwykłe i dziesiętnePodstawa

Ułamki zwykłe i dziesiętne pozwalają zapisywać części całości oraz wyniki dzielenia. Na przykład \(\frac34\) i \(0{,}75\) oznaczają tę samą liczbę. W tej lekcji poznasz znaczenie obu zapisów, a następnie nauczysz się je zamieniać, porównywać i wykonywać działania.

1. Co oznacza ułamek?

Wyobraź sobie tabliczkę czekolady podzieloną na cztery równe części. Trzy takie części to \(\frac34\) tabliczki. Mianownik, czyli liczba pod kreską, mówi, na ile równych części dzielimy całość. Licznik, czyli liczba nad kreską, mówi, ile takich części bierzemy. Części muszą być równe: trzy dowolne kawałki z czterech nie muszą stanowić trzech czwartych tabliczki.

Kreska ułamkowa oznacza także dzielenie: \(\frac34=3:4\). Można więc rozumieć ten zapis jako podział trzech tabliczek po równo między cztery osoby. Każda dostanie trzy czwarte tabliczki.

Mianownik nie może być zerem, ponieważ nie dzielimy przez zero. Licznik może być zerem: \(\frac05=0\). Ułamek może też być większy od jedności: \(\frac74\) to siedem ćwiartek, czyli cała tabliczka i jeszcze trzy ćwiartki. Zapisujemy to jako liczbę mieszaną \(1\frac34\). Aby zamienić ją z powrotem, liczymy \(1\cdot4+3=7\), a mianownik zostawiamy: \(1\frac34=\frac74\).

Potrzebne będą tabliczka mnożenia oraz dzielenie liczb całkowitych. Przypomnienie: \(12:4=3\), ponieważ \(3\cdot4=12\). Przy ułamkach korzystamy z tej samej zależności.

2. Dlaczego można skracać i rozszerzać ułamki?

Połowę tabliczki można podzielić na dwa mniejsze kawałki. Nadal masz połowę, ale teraz są to dwie z czterech części. Przyjrzyj się jednakowym paskom:

Rozszerzanie oznacza pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą niezerową liczbę. Wartość ułamka się nie zmienia. Na przykład \(\frac23=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac8{12}\). Ten zabieg przyda się przy dodawaniu: dzięki niemu będziemy liczyć części o tej samej wielkości.

Skracanie to podzielenie licznika i mianownika przez wspólny niezerowy dzielnik. Dla \(\frac{18}{24}\) wybieramy sześć, bo obie liczby dzielą się przez sześć bez reszty: \(\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac34\). Liczby trzy i cztery nie mają już wspólnego dodatniego dzielnika większego od jedności. Otrzymaliśmy ułamek nieskracalny.

Nie musisz od razu znaleźć największego wspólnego dzielnika. Możesz skrócić \(\frac{18}{24}\) najpierw przez dwa do \(\frac9{12}\), a potem przez trzy do \(\frac34\). Ważne, aby za każdym razem dzielić obie liczby przez to samo.

3. Zapis dziesiętny: co oznaczają cyfry po przecinku?

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie setne, a trzecie tysięczne. Dlatego \(0{,}4=\frac4{10}\), \(0{,}04=\frac4{100}\), a \(0{,}004=\frac4{1000}\). Zera mają tu znaczenie: cztery setne to mniej niż cztery dziesiąte.

Z dziesiętnego na zwykły

W liczbie \(0{,}45\) są dwa miejsca po przecinku, więc zapisujemy czterdzieści pięć setnych: \(0{,}45=\frac{45}{100}\). Obie liczby dzielimy przez pięć i dostajemy \(\frac9{20}\). Podobnie \(1{,}25=\frac{125}{100}=\frac54\). Liczba przed przecinkiem również trafia do licznika.

Ze zwykłego na dziesiętny

Możesz wykonać dzielenie licznika przez mianownik albo rozszerzyć ułamek do mianownika dziesięć, sto lub tysiąc. Na przykład \(\frac38=\frac{3\cdot125}{8\cdot125}=\frac{375}{1000}=0{,}375\). Wybieramy liczbę sto dwadzieścia pięć, ponieważ pomnożona przez osiem daje tysiąc.

Nie każde dzielenie się kończy. Dla \(\frac13\) kolejne cyfry to same trójki: \(0{,}333\ldots=0{,}\overline3\). Kreska nad cyfrą oznacza jej nieskończone powtarzanie, czyli okres. Nie wolno zastępować dokładnej wartości \(\frac13\) liczbą \(0{,}33\) bez zaznaczenia przybliżenia.

Do rozpoznawania rodzaju rozwinięcia przydaje się rozkład na czynniki pierwsze, czyli zapis liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Liczba pierwsza jest liczbą naturalną większą od jedności, która ma tylko dwa dodatnie dzielniki: jeden i samą siebie. Takimi liczbami są na przykład dwa, trzy i pięć.

Rozwinięcie jest skończone, gdy dodatni mianownik po skróceniu składa się wyłącznie z czynników pierwszych dwa i pięć; mianownik równy jedności też daje rozwinięcie skończone. Przykładowo \(40=2\cdot2\cdot2\cdot5\), więc \(\frac3{40}=0{,}075\). Powtarzające się czynniki można zapisać potęgą: \(2\cdot2=2^2\). Natomiast w \(15=3\cdot5\) występuje trójka, więc nieskracalny ułamek \(\frac2{15}=0{,}1\overline3\) ma rozwinięcie okresowe. Najpierw skracamy: \(\frac36=\frac12=0{,}5\), mimo że początkowy mianownik zawierał trójkę.

Dla okresu zaczynającego się zaraz po przecinku można użyć dziewiątek: \(0{,}\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac3{11}\). Dlaczego? Sto razy ta liczba to \(27{,}2727\ldots\). Po odjęciu początkowej liczby znikają identyczne części po przecinku. Zostaje dziewięćdziesiąt dziewięć razy szukana liczba równe dwadzieścia siedem. Nie stosuj tego skrótu bezpośrednio do \(0{,}1\overline3\), bo przed okresem znajduje się niepowtarzająca się cyfra.

4. Dodawanie, odejmowanie i porównywanie

Trzy ósme i dwie ósme to razem pięć ósmych: \(\frac38+\frac28=\frac58\). Dodajemy liczbę kawałków, ale wielkość pojedynczego kawałka pozostaje taka sama. Dlatego mianownika nie dodajemy.

Przy różnych mianownikach najpierw uzgadniamy rozmiar części. Obliczmy \(\frac56-\frac14\). Szukamy dodatniej liczby podzielnej przez sześć i cztery. Najmniejsza taka liczba to dwanaście. Moglibyśmy wybrać dwadzieścia cztery, ale rachunek byłby dłuższy.

1. Zamień szóste na dwunaste. Mianownik mnożymy przez dwa, więc licznik również przez dwa.\(\frac56=\frac{5\cdot2}{6\cdot2}=\frac{10}{12}\)
2. Zamień czwarte na dwunaste. Tym razem obie liczby mnożymy przez trzy.\(\frac14=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}=\frac3{12}\)
3. Od dziesięciu dwunastych odejmij trzy dwunaste.\(\frac{10}{12}-\frac3{12}=\frac{10-3}{12}=\frac7{12}\)
4. Sprawdź wynik działaniem odwrotnym: dodaj odjęty ułamek.\(\frac7{12}+\frac14=\frac7{12}+\frac3{12}=\frac{10}{12}=\frac56\)

Wspólny dodatni mianownik pomaga także porównywać. Mamy \(\frac7{12}=\frac{14}{24}\) oraz \(\frac58=\frac{15}{24}\). Piętnaście jednakowych części to więcej niż czternaście, więc \(\frac7{12}\lt\frac58\). Dla liczb ujemnych kolejność się odwraca: \(-\frac7{12}\gt-\frac58\), ponieważ pierwsza z nich leży bliżej zera.

5. Mnożenie, dzielenie i łączenie działań

Mnożenie: część z części

Połowa z trzech czwartych tabliczki to trzy ósme: każdą ćwiartkę dzielimy jeszcze na pół. Zapisujemy \(\frac12\cdot\frac34=\frac38\). Ogólna reguła brzmi: mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Wspólny mianownik nie jest potrzebny.

Można skrócić czynniki przed mnożeniem. W \(\frac23\cdot\frac9{10}\) skracamy dziewięć i trzy przez trzy, a dwa i dziesięć przez dwa. Zostaje \(\frac{1\cdot3}{1\cdot5}=\frac35\). Skracamy wspólne czynniki całego iloczynu, a nie przypadkowe składniki sumy.

Dzielenie: ile razy jedna liczba mieści się w drugiej?

W \(\frac34\) mieszczą się trzy porcje po \(\frac14\), więc \(\frac34:\frac14=3\). Rachunkowo dzielenie przez niezerowy ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność: zamieniamy miejscami licznik i mianownik drugiego ułamka. Pierwszy zostawiamy bez zmian.

Przykład: \(\frac34:\frac9{10}=\frac34\cdot\frac{10}9=\frac{30}{36}=\frac56\). Kontrola przez mnożenie: \(\frac56\cdot\frac9{10}=\frac{45}{60}=\frac34\), czyli wróciliśmy do dzielnej.

Przykład łączący umiejętności

Oblicz \(\left(\frac12+0{,}25\right):\frac32\). Najpierw zamieniamy \(0{,}25=\frac14\), żeby pracować na jednym rodzaju zapisu. Następnie liczymy nawias: \(\frac12+\frac14=\frac24+\frac14=\frac34\). Dopiero teraz dzielimy: \(\frac34:\frac32=\frac34\cdot\frac23=\frac6{12}=\frac12\). Bez nawiasów mnożenie i dzielenie wykonujemy przed dodawaniem i odejmowaniem; działania równorzędne liczymy od lewej do prawej.

6. Typowe błędy i kontrola zrozumienia

Przy dodawaniu ułamków dziesiętnych ustawiaj przecinki pod sobą. Można dopisać zero na końcu: \(0{,}4=0{,}40\), więc \(0{,}4+0{,}35=0{,}75\). Nie zmieniaj \(0{,}4\) na \(0{,}04\), bo to inna liczba.

Przed przejściem dalej sprawdź, czy potrafisz wyjaśnić, co oznaczają licznik i mianownik, dlaczego skracanie nie zmienia wartości oraz po co wspólny mianownik przy dodawaniu. Powinieneś również umieć odróżnić dokładny zapis okresowy od przybliżenia i wskazać ułamek odwracany przy dzieleniu.