Kombinacje

Wyobraź sobie, że z 8 osób wybierasz trzyosobową drużynę. Drużyna złożona z Ani, Bartka i Celiny jest taka sama niezależnie od tego, w jakiej kolejności zapiszesz ich imiona. Właśnie takie wybory opisują kombinacje.

Konkret: wybór grupy bez ustawiania

• Wybierasz 3 osoby do komisji.
• Tworzysz zestaw 5 liczb w losowaniu.
• Wybierasz 2 smaki lodów spośród 6.
• Dobierasz 4 książki do przeczytania z większej półki.

Reprezentacja: kolejność nie tworzy nowego wyboru

W kombinacji liczy się tylko to, które elementy zostały wybrane. Zapis A, B, C oznacza ten sam wybór co C, A, B. Gdybyśmy policzyli wszystkie uporządkowania jak wariacje, każdą grupę policzylibyśmy k! razy.

• n — liczba wszystkich dostępnych elementów.
• k — liczba wybieranych elementów.
• Kolejność nie ma znaczenia.
• Bez powtórzeń każdy element wybieramy najwyżej raz.

Abstrakcja: symbol Newtona

Liczbę kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego zapisujemy jako C_n^k lub symbolem Newtona.

C_n^k=n!/(k!·(n−k)!).

• Najpierw liczymy uporządkowane wybory.
• Następnie dzielimy przez k!, bo każda grupa została policzona we wszystkich możliwych kolejnościach.
• Zachodzi symetria: C_n^k=C_n^n−k.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-O-M-B-I: Kolejność nieważna, Określ n i k, Mnożysz silnie, Bierzesz poprawny wzór, I kontrolujesz symetrią. W pałacu pamięci wyobraź sobie ogromny kosz piknikowy. Wrzucasz do niego wybrane osoby jak kolorowe piłki. Kosz miesza je szaloną wirówką, ale skład pozostaje ten sam. Niezależnie od kolejności wrzucania w środku jest ta sama drużyna — to znak, że kolejność nie ma znaczenia.

Przykład krok po kroku: komisja

Z 6 osób wybieramy trzyosobową komisję. Ile różnych komisji można utworzyć?

• Krok 1: n=6, k=3.
• Krok 2: C₆³=6!/(3!·3!).
• Krok 3: 720/(6·6)=20.
• Wynik: można utworzyć 20 komisji.

Przykład krok po kroku: dwa smaki

Z 5 smaków lodów wybieramy 2 różne smaki. Ile zestawów jest możliwych?

• Krok 1: kolejność smaków nie ma znaczenia.
• Krok 2: C₅²=5!/(2!·3!).
• Krok 3: 120/(2·6)=10.
• Wynik: istnieje 10 zestawów.

Przykład krok po kroku: wybór liczb

Ile zestawów 4 liczb można wybrać spośród 9 różnych liczb?

• Krok 1: n=9, k=4.
• Krok 2: C₉⁴=9!/(4!·5!).
• Krok 3: skracamy: (9·8·7·6)/(4·3·2·1)=126.
• Wynik: można utworzyć 126 zestawów.

Przykład krok po kroku: wybór lub odrzucenie

Z 10 książek wybieramy 8. Ile jest możliwości?

• Krok 1: C₁₀⁸=C₁₀².
• Krok 2: łatwiej policzyć, które 2 książki odrzucamy.
• Krok 3: C₁₀²=10·9/2=45.
• Wynik: istnieje 45 wyborów.

Jak odróżnić kombinację od wariacji?

• Kombinacja: wybierasz część elementów i kolejność nie ma znaczenia.
• Wariacja: wybierasz część elementów i kolejność ma znaczenie.
• Test: zamień dwa wybrane elementy miejscami. Jeśli wynik się nie zmienia, użyj kombinacji.

Najczęstsze błędy

• Liczenie różnych kolejności tej samej grupy jako nowych wyników.
• Stosowanie wzoru na wariacje zamiast kombinacji.
• Pomijanie czynnika k! w mianowniku.
• Mylenie k z n−k.
• Rozwijanie całych silni zamiast wcześniejszego skracania.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy C_n^k=C_n^n−k.
• Dla k=1 wynik powinien wynosić n.
• Dla k=0 i k=n wynik powinien wynosić 1.
• Porównaj z wariacją: liczba kombinacji powinna być mniejsza o czynnik k!.
• Dla małych danych wypisz wszystkie grupy bez powtarzania kolejności.

Najczęstsze pytania