Kombinacja jest wyborem grupy różnych elementów bez uwzględniania ich kolejności. Liczy się skład grupy; przestawienie nazw tych samych osób lub przedmiotów nie tworzy nowej kombinacji.
Pojęcia, od których zaczynamy
Dwuosobowa komisja Anna–Bartek jest tą samą komisją co Bartek–Anna, jeśli nie przydzielamy funkcji. Gdyby jedna osoba była przewodniczącą, a druga zastępcą, byłyby to dwa różne wyniki. Przed liczeniem sprawdź więc, co dokładnie uznajemy za odmienny wybór.
Zapis \(\binom nk\) czytamy „n po k”. Oznacza liczbę sposobów wybrania \(k\) różnych elementów z \(n\), bez powtórzeń i bez kolejności. Zakładamy całkowite \(0\leq k\leq n\). Symbol przypomina ułamek bez kreski, ale nie oznacza dzielenia \(n\) przez \(k\).
Zasady i wzory
Kombinacja to wybór k elementów z n bez uwzględniania kolejności. Każdy wybrany podzbiór liczymy tylko raz.
- Kolejność nie ma znaczenia.
- Nie wybieramy tego samego elementu ponownie.
- Zachodzi symetria \(\binom nk=\binom n{n-k}\).
Iloraz silni liczy wybory k różnych elementów z n bez kolejności. Równoważnie: liczbę uporządkowanych wyborów dzielimy przez k silnia.
Jak czytać rysunek?
Z czterech osób A, B, C i D można wybrać sześć par. Na rysunku każda para występuje raz. Nie dopisujemy BA obok AB, ponieważ skład jest identyczny. Liczenie z kolejnością dałoby \(4\cdot3=12\), więc dla par dzielimy przez dwa.
Przykład krok po kroku
Na ile sposobów można wybrać 3 osoby z grupy 8?
Dlaczego dzielimy przez silnię? Reguła \(8\cdot7\cdot6\) liczy uporządkowane trójki. Ta sama grupa trzech osób pojawia się w sześciu kolejnościach, bo \(3!=6\). W komisji bez ról wszystkie te kolejności opisują tę samą grupę, więc dzielimy przez \(6\).
- Rozpoznaj wybór bez ról.\(\binom83\)
- Podstaw do wzoru.\(\binom83=\frac{8!}{3!5!}\)
- Uprość.\(\binom83=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56\)
Typowy błąd
Jeżeli wybrane osoby otrzymują różne role, kolejność zaczyna mieć znaczenie.
Dodatkowy przykład i kontrola
Wybór dwóch osób spośród pięciu daje \(\binom52=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10\). Nie zawsze dzielimy przez dwa: przy grupie trzech osób dzielimy przez \(3!=6\), bo tyle kolejności ma każda trójka. Przy jednej osobie kolejność niczego nie zmienia.
Własność \(\binom nk=\binom n{n-k}\) wynika z tego, że wybór grupy jednoznacznie wskazuje, kto został poza nią. Dlatego wybór dwóch osób z ośmiu i wybór sześciu z ośmiu dają tyle samo możliwości. Zachodzi też \(\binom n0=\binom nn=1\): jeden pusty wybór i jeden wybór wszystkich elementów.