Wariacje

Wyobraź sobie, że z 6 zawodników wybierasz trzy osoby na podium: złoto, srebro i brąz. Nie wybierasz wszystkich, a kolejność ma znaczenie — ten sam zestaw osób może dać różne wyniki w zależności od zajętych miejsc.

Konkret: wybór części elementów w kolejności

• Tworzysz trzycyfrowy kod z dostępnych cyfr.
• Wybierasz pierwsze, drugie i trzecie miejsce w zawodach.
• Obsadzasz przewodniczącego, zastępcę i sekretarza.
• Ustawiasz kilka wybranych książek na określonych miejscach.

Reprezentacja: kilka miejsc, wiele kandydatów

W wariacji mamy n dostępnych elementów i k uporządkowanych miejsc. Najpierw wybieramy element na pierwsze miejsce, potem na drugie i tak dalej. To, czy liczba możliwości maleje, zależy od tego, czy powtórzenia są dozwolone.

• n — liczba wszystkich dostępnych elementów.
• k — liczba wybieranych miejsc lub pozycji.
• Kolejność ma znaczenie.
• Nie zawsze wykorzystujemy wszystkie elementy.

Abstrakcja: wariacje bez powtórzeń

Gdy nie wolno powtarzać elementów, liczba możliwości maleje na kolejnych miejscach.

V_n^k=n·(n−1)·...·(n−k+1)=n!/(n−k)!.

• Pierwsze miejsce: n możliwości.
• Drugie miejsce: n−1 możliwości.
• Ostatnie z k miejsc: n−k+1 możliwości.

Abstrakcja: wariacje z powtórzeniami

Gdy element może wystąpić ponownie, na każdym z k miejsc nadal mamy n możliwości.

Liczba wariacji z powtórzeniami wynosi n^k.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim W-A-R-I-A: Wybierasz tylko część, A kolejność jest ważna, Rozstrzygnij, czy są powtórzenia, Ile jest miejsc, Aktualizuj liczbę możliwości. W pałacu pamięci stoi podium z trzema ogromnymi stopniami. Na każdym stopniu czeka neonowy numer miejsca. Jeśli zawodnik może wejść tylko raz, strażnik zamyka za nim drzwi i liczba kandydatów maleje. Jeśli powtórzenia są dozwolone, kandydaci teleportują się z powrotem i na każdym stopniu znów jest ich tyle samo.

Przykład krok po kroku: podium

W zawodach startuje 6 osób. Na ile sposobów można obsadzić trzy miejsca na podium?

• Krok 1: pierwsze miejsce — 6 możliwości.
• Krok 2: drugie miejsce — 5 możliwości.
• Krok 3: trzecie miejsce — 4 możliwości.
• Krok 4: 6·5·4=120.
• Wynik: podium można obsadzić na 120 sposobów.

Przykład krok po kroku: kod z powtórzeniami

Tworzymy czterocyfrowy kod z cyfr 0, 1, 2, 3, 4. Powtórzenia są dozwolone.

• Krok 1: na każdym miejscu mamy 5 możliwości.
• Krok 2: są 4 miejsca.
• Krok 3: 5⁴=625.
• Wynik: istnieje 625 kodów.

Przykład krok po kroku: funkcje w klasie

Z 8 uczniów wybieramy przewodniczącego i zastępcę. Jedna osoba nie może pełnić obu funkcji.

• Krok 1: przewodniczący — 8 możliwości.
• Krok 2: zastępca — 7 możliwości.
• Krok 3: 8·7=56.
• Wynik: funkcje można obsadzić na 56 sposobów.

Przykład krok po kroku: liczby trzycyfrowe

Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 bez powtórzeń?

• Krok 1: setki — 5 możliwości.
• Krok 2: dziesiątki — 4 możliwości.
• Krok 3: jedności — 3 możliwości.
• Krok 4: 5·4·3=60.
• Wynik: można utworzyć 60 liczb.

Jak odróżnić wariację od permutacji i kombinacji?

• Permutacja: używasz wszystkich elementów i kolejność ma znaczenie.
• Wariacja: używasz części elementów i kolejność ma znaczenie.
• Kombinacja: używasz części elementów, ale kolejność nie ma znaczenia.

Najczęstsze błędy

• Stosowanie permutacji n!, mimo że wybieramy tylko k elementów.
• Pomijanie znaczenia kolejności.
• Nieuwzględnianie zakazu powtórzeń.
• Używanie n^k, gdy liczba możliwości powinna maleć.
• Mylenie n i k we wzorze.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy wybierasz wszystkie elementy, czy tylko część.
• Zamień miejscami dwa wybrane elementy i oceń, czy powstaje nowy wynik.
• Ustal, czy ten sam element może pojawić się ponownie.
• Dla małego przykładu narysuj drzewko.
• Bez powtórzeń wynik powinien być mniejszy niż n^k.

Najczęstsze pytania