Wariacja jest uporządkowanym wyborem określonej liczby elementów. Kolejność lub przydzielone role mają znaczenie, a sposób liczenia zależy od tego, czy ten sam element może wystąpić ponownie.
Pojęcia, od których zaczynamy
Przewodniczący Anna i zastępca Bartek to inny wynik niż przewodniczący Bartek i zastępca Anna. Nie chodzi tylko o wybranie tych samych dwóch osób: ważne jest, kto zajmuje które miejsce. To odróżnia wariację od kombinacji, czyli grupy bez ról.
Litera \(n\) oznacza liczbę różnych dostępnych elementów, a \(k\) liczbę obsadzanych pozycji. Bez powtórzeń mamy kolejno \(n,n-1,n-2\) możliwości, aż obsadzimy \(k\) miejsc. Musi być \(0\leq k\leq n\). Przy powtórzeniach na każdej pozycji można ponownie wybrać dowolny z \(n\) elementów, więc pozycji może być więcej niż elementów.
Zasady i wzory
Wariacja jest uporządkowanym wyborem k elementów z n. Bez powtórzeń każdy element można wybrać najwyżej raz; z powtórzeniami ten sam element może pojawić się ponownie.
- Kolejność ma znaczenie.
- Obsadzamy k uporządkowanych pozycji; bez powtórzeń nie więcej niż n, a z powtórzeniami dowolnie wiele.
- Najpierw ustal, czy powtórzenia są dozwolone.
Pierwszy wzór jest bez powtórzeń, drugi — z powtórzeniami.
Jak czytać rysunek?
Na podium trzy miejsca mają różne role. Spośród pięciu zawodników wybieramy zwycięzcę na pięć sposobów. Po jego wyborze zostaje czterech kandydatów na drugie miejsce i trzech na trzecie. Daje to \(5\cdot4\cdot3=60\) wyników podium, jeśli nie dopuszczamy remisów.
Przykład krok po kroku
Z 8 różnych cyfr tworzymy trzycyfrowe kody bez powtórzeń. Ile kodów istnieje?
Kod a liczba. Kod może zaczynać się od zera, o ile treść tego nie zabrania. Liczba trzycyfrowa nie może. W poniższym zadaniu liczymy kody, dlatego na pierwszym miejscu można użyć każdej z ośmiu cyfr; po każdym wyborze zostaje o jedną mniej.
- Pierwsze miejsce ma 8 możliwości.\(8\)
- Na kolejne pozostaje 7 i 6 cyfr.\(7\quad\text{i}\quad6\)
- Pomnóż.\(8\cdot7\cdot6=336\)
Typowy błąd
Kodu uporządkowanego nie liczymy kombinacjami.
Dodatkowy przykład i kontrola
Trzyznakowy kod z czterech znaków ma \(4^3=64\) warianty z powtórzeniami. Bez powtórzeń jest ich \(4\cdot3\cdot2=24\). Te same dane \(n=4\), \(k=3\) prowadzą do różnych odpowiedzi, bo zmieniają się zasady.
Wariacja bez powtórzeń dla \(k=n\) staje się permutacją: wykorzystujemy wszystkie elementy. Jeśli natomiast wybieramy grupę bez ról, zamiana kolejności nie tworzy nowego wyniku i trzeba użyć kombinacji. Przy kodach odróżnij ciąg znaków od liczby: kod może zaczynać się zerem, jeśli regulamin zadania na to pozwala.