Permutacja jest ustawieniem wszystkich dostępnych elementów w określonej kolejności. Dla \(n\) różnych elementów liczba takich ustawień wynosi \(n!\), czyli silnia liczby \(n\).
Pojęcia, od których zaczynamy
Ustawiając książki na półce, zajmujemy kolejne miejsca od lewej do prawej. Zamiana dwóch różnych książek zmienia ustawienie, mimo że zestaw książek pozostaje taki sam. W permutacji nie wybieramy tylko części książek: każda ma znaleźć swoje miejsce.
Silnię czytamy „n silnia”. Dla dodatniego całkowitego \(n\) mnożymy liczby od \(1\) do \(n\), np. \(4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24\). Zapis nie oznacza \(n^2\). Przyjmujemy też \(0!=1\): istnieje jeden pusty sposób ustawienia, gdy niczego nie trzeba ustawiać.
Zasady i wzory
Permutacja to ustawienie wszystkich elementów, w którym kolejność ma znaczenie. Dla różnych elementów liczba ustawień wynosi silnię, a przy powtórzeniach dzielimy przez silnie liczności identycznych elementów.
- Używamy wszystkich elementów.
- Zmiana kolejności daje inny wynik.
- Dla \(n=0\) przyjmujemy \(0!=1\).
Drugi wzór dotyczy permutacji z powtórzeniami.
Jak czytać rysunek?
Rysunek pokazuje wszystkie ustawienia liter A, B i C. Na pierwszym miejscu mamy trzy możliwości, potem dwie, na końcu jedną. Sześć zapisów różni się kolejnością, ale każdy wykorzystuje te same trzy litery dokładnie raz. Pełne wypisanie małego przypadku pomaga zrozumieć silnię.
Przykład krok po kroku
Na ile sposobów można ustawić w szeregu 6 różnych osób?
Silnia skraca regułę mnożenia. Pierwsze miejsce może zająć dowolna z sześciu osób. Na drugie zostaje pięć, na trzecie cztery i tak dalej. Mnożymy, bo pełne ustawienie wymaga obsadzenia wszystkich miejsc. Nie dzielimy przez kolejności: inna kolejność osób jest tutaj innym wynikiem.
- Rozpoznaj permutację wszystkich osób.\(n=6\)
- Zapisz silnię.\(6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\)
- Oblicz.\(6!=720\)
Typowy błąd
Silnia nie oznacza mnożenia n przez n.
Dodatkowy przykład i kontrola
Gdy elementy są nierozróżnialne, zamiana ich miejsc nie daje nowego wyniku. W słowie MAMA mamy dwie jednakowe litery M i dwie A. Gdybyśmy je oznaczyli numerami, otrzymalibyśmy \(4!=24\) ustawienia, ale każdy widoczny napis zostałby policzony \(2!\cdot2!=4\) razy. Różnych napisów jest \(\frac{24}{4}=6\).
W ilorazach silni skracaj wspólne czynniki: \(\frac{6!}{4!}=6\cdot5=30\), nie \(\frac64\). Jeśli jedna z pięciu różnych książek ma stać na początku, jej miejsce jest już ustalone, więc pozostałe ustawiamy na \(4!=24\) sposoby. Każde dodatkowe ograniczenie trzeba wprowadzić przed zastosowaniem silni.