Zliczanie możliwości

Wyobraź sobie, że tworzysz wszystkie możliwe kanapki, stroje albo kody. Gdy możliwości jest mało, można je wypisać, ale przy większej liczbie potrzebujesz uporządkowanej metody, aby niczego nie pominąć i niczego nie policzyć dwa razy.

Konkret: porządkowanie wyborów

• Wypisujesz wszystkie stroje z 2 bluz i 3 par spodni.
• Rysujesz drzewko dla wyboru dania, napoju i deseru.
• Tworzysz tabelę możliwych wyników rzutu dwiema kostkami.
• Dzielisz problem na rozłączne przypadki.

Reprezentacja: trzy narzędzia

• Lista — dobra dla małej liczby wyników.
• Tabela — dobra, gdy łączymy dwa zbiory możliwości.
• Drzewko — dobre przy kilku kolejnych etapach.
• Podział na przypadki — dobry, gdy różne grupy spełniają inne warunki.

Abstrakcja: reguły zliczania

• Rozłączne przypadki łączymy regułą dodawania.
• Kolejne etapy łączymy regułą mnożenia.
• Przy zakazie powtórzeń liczba dostępnych opcji maleje.
• Przy warunkach dodatkowych najpierw zliczamy wszystkie wyniki, a potem odrzucamy niedozwolone albo od razu budujemy tylko poprawne przypadki.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-O-L-I-C-Z: Przeczytaj warunki, Określ etapy, Lista lub drzewko, I albo mnożenie, Czy nie ma powtórek, Zweryfikuj wynik. W pałacu pamięci gigantyczny licznik biega po pokoju i przykleja numer do każdej możliwości. Gdy widzi duplikat, uruchamia alarm i wyrzuca go przez okno. Dzięki temu pamiętasz: policzyć wszystko, ale tylko raz.

Przykład krok po kroku: stroje

Masz 2 bluzy i 3 pary spodni. Ile różnych strojów możesz utworzyć?

• Krok 1: wybór bluzy — 2 możliwości.
• Krok 2: do każdej bluzy pasują 3 pary spodni.
• Krok 3: 2·3=6.
• Wynik: istnieje 6 strojów.

Przykład krok po kroku: liczby dwucyfrowe

Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4 bez powtórzeń?

• Krok 1: cyfra dziesiątek — 4 możliwości.
• Krok 2: cyfra jedności — 3 pozostałe możliwości.
• Krok 3: 4·3=12.
• Wynik: można utworzyć 12 liczb.

Przykład krok po kroku: podział na przypadki

Ile jest dodatnich liczb jednocyfrowych parzystych albo większych od 7?

• Krok 1: liczby parzyste to 2, 4, 6, 8 — 4 liczby.
• Krok 2: większe od 7 to 8 i 9.
• Krok 3: liczba 8 należy do obu grup, więc nie wolno policzyć jej dwa razy.
• Krok 4: 4+2−1=5.
• Wynik: takich liczb jest 5.

Przykład krok po kroku: wyniki dwóch monet

Rzucamy dwiema monetami. Ile jest możliwych uporządkowanych wyników?

• Krok 1: pierwsza moneta — orzeł lub reszka.
• Krok 2: druga moneta — orzeł lub reszka.
• Krok 3: 2·2=4.
• Wyniki: OO, OR, RO, RR.

Najczęstsze błędy

• Pomijanie części wyników przy ręcznym wypisywaniu.
• Liczenie tego samego wyniku więcej niż raz.
• Mylenie sytuacji uporządkowanych z nieuporządkowanymi.
• Ignorowanie zakazu powtórzeń.
• Stosowanie dodawania zamiast mnożenia albo odwrotnie.

Kontrola wyniku

• Dla małego przykładu wypisz wszystkie wyniki i porównaj z obliczeniem.
• Sprawdź, czy każdy wynik spełnia warunki zadania.
• Upewnij się, że żaden wynik nie został policzony dwa razy.
• Sprawdź, czy kolejność ma znaczenie.
• Porównaj dwie metody, na przykład drzewko i regułę mnożenia.

Najczęstsze pytania