Reguła mnożenia liczy wyniki tworzone w kolejnych etapach. Mnożymy liczby możliwości, gdy na każdym etapie ich liczba jest ustalona dla każdego dopuszczalnego wcześniejszego wyboru.
Pojęcia, od których zaczynamy
Jeden pełny wynik musi zawierać wybór z każdego etapu, np. koszulkę i spodnie. Jeśli są trzy koszulki i do każdej można dobrać cztery pary spodni, otrzymujemy trzy grupy po cztery stroje: \(4+4+4=3\cdot4=12\). Mnożenie skraca powtarzane dodawanie.
Ważna jest stała liczba kontynuacji, a nie to, czy zawsze dostępne są dokładnie te same przedmioty. Przy wyborze dwóch różnych osób z grupy pięciu na drugim etapie zostają cztery osoby niezależnie od tego, kto był pierwszy. Dlatego \(5\cdot4\) działa również przy wyborze bez zwracania.
Zasady i wzory
Regułę mnożenia stosujemy, gdy proces składa się z kolejnych etapów. Dla każdego wyboru na pierwszym etapie dostępna jest określona liczba wyborów na następnym.
- Słowo „i” lub „następnie” sugeruje mnożenie.
- Uwzględnij każdy etap konstrukcji wyniku.
- Gdy liczby kontynuacji są różne, rozdzielamy problem na rozłączne przypadki i dodajemy ich liczebności.
Każdy czynnik opisuje liczbę możliwości na jednym etapie; na tym etapie musi być ona taka sama dla każdego wcześniejszego dopuszczalnego wyboru.
Jak czytać rysunek?
Każdy wiersz tabeli odpowiada jednej koszulce, a każda kolumna jednej parze spodni. Jedna komórka jest kompletnym strojem. Trzy wiersze po cztery komórki dają dwanaście zestawów. Dodanie liczby wierszy i kolumn policzyłoby części garderoby, a nie stroje.
Przykład krok po kroku
Wybieramy jedną z 4 koszul, jedne z 3 spodni i jedną z 2 par butów. Ile strojów powstanie?
Skąd mnożenie? Do każdej z czterech koszul pasują trzy możliwości wyboru spodni, więc par koszula–spodnie jest \(4\cdot3=12\). Do każdej pary dobieramy jedną z dwóch par butów, co daje \(12\cdot2=24\) pełne stroje. Zakładamy, że zadanie nie zakazuje żadnego połączenia.
- Wypisz etapy.Koszula, spodnie, buty.
- Przypisz liczbę wyborów.\(4,\ 3,\ 2\)
- Pomnóż.\(4\cdot3\cdot2=24\)
Typowy błąd
Nie dodajemy możliwości z kolejnych obowiązkowych etapów.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla czteroznakowego kodu z cyfr od \(0\) do \(9\), z powtórzeniami i dozwolonym zerem na początku, otrzymujemy \(10^4=10000\). Dla czterocyfrowej liczby pierwsza cyfra nie może być zerem, więc wynik to \(9\cdot10^3=9000\). Podobny zapis nie oznacza identycznych ograniczeń.
Jeśli do koszulki A pasują trzy pary spodni, a do koszulki B tylko dwie, nie ma jednego wspólnego czynnika dla drugiego etapu. Liczymy rozłączne przypadki: \(3+2=5\) strojów. Nie wybieraj dowolnie większej liczby opcji. Najpierw sprawdź warunki łączenia wyborów.