Reguła mnożenia

Wyobraź sobie automat do tworzenia zestawu: najpierw wybierasz 3 koszulki, potem 2 pary spodni. Każda koszulka może zostać połączona z każdą parą spodni, więc powstaje 3·2=6 różnych strojów.

Konkret: kilka wyborów po kolei

• Wybierasz danie główne i napój.
• Ustalasz pierwszą, drugą i trzecią cyfrę kodu.
• Wybierasz trasę pierwszego i drugiego etapu podróży.
• Tworzysz strój z bluzki, spodni i butów.

Reprezentacja: drzewko możliwości

Każdy wybór tworzy kolejne gałęzie. Jeżeli na pierwszym etapie masz m możliwości, a po każdej z nich na drugim etapie n możliwości, to drzewko ma m·n końcowych gałęzi.

• Etap 1: m gałęzi.
• Etap 2: z każdej gałęzi wychodzi n kolejnych.
• Razem: m·n wyników.
• Dla większej liczby etapów mnożymy liczby możliwości ze wszystkich etapów.

Abstrakcja: reguła mnożenia

Jeżeli czynność składa się z kolejnych etapów, pierwszy można wykonać na n₁ sposobów, drugi na n₂ sposobów i tak dalej, to całą czynność można wykonać na n₁·n₂·...·n_k sposobów.

• Dwa etapy: N=m·n.
• Trzy etapy: N=a·b·c.
• Każda możliwość z jednego etapu łączy się z możliwościami następnego.
• Gdy liczba możliwości zależy od wcześniejszego wyboru, liczymy gałęzie osobno.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim I-E-M: I — wybory są połączone słowem „i”, E — rozpoznaj kolejne etapy, M — pomnóż możliwości. W pałacu pamięci stoisz przy taśmie produkcyjnej: gigantyczna koszulka wpada do maszyny, potem spodnie, potem buty, a wielki znak mnożenia obraca wszystkie elementy jak mikser i wyrzuca kompletne stroje. Każdy etap dokłada nową warstwę kombinacji.

Przykład krok po kroku: zestaw obiadowy

Restauracja oferuje 4 dania główne i 3 napoje. Ile różnych zestawów można utworzyć?

• Krok 1: wybieramy danie i napój.
• Krok 2: są dwa kolejne etapy.
• Krok 3: 4·3=12.
• Wynik: można utworzyć 12 zestawów.

Przykład krok po kroku: kod

Kod ma 3 cyfry. Na każdym miejscu można użyć jednej z cyfr 0, 1, 2, 3, 4. Powtórzenia są dozwolone.

• Krok 1: pierwsza pozycja — 5 możliwości.
• Krok 2: druga pozycja — 5 możliwości.
• Krok 3: trzecia pozycja — 5 możliwości.
• Krok 4: 5·5·5=125.
• Wynik: istnieje 125 kodów.

Przykład krok po kroku: bez powtórzeń

Z cyfr 1, 2, 3, 4 tworzymy liczby dwucyfrowe bez powtarzania cyfr.

• Krok 1: cyfra dziesiątek — 4 możliwości.
• Krok 2: po wyborze jednej cyfry zostają 3 możliwości.
• Krok 3: 4·3=12.
• Wynik: można utworzyć 12 liczb.

Przykład krok po kroku: stroje

Masz 3 bluzy, 2 pary spodni i 4 pary butów.

• Krok 1: wybór bluzy — 3 możliwości.
• Krok 2: wybór spodni — 2 możliwości.
• Krok 3: wybór butów — 4 możliwości.
• Krok 4: 3·2·4=24.
• Wynik: można stworzyć 24 stroje.

Kiedy nie mnożyć wszystkich liczb bezmyślnie?

Reguła mnożenia działa, gdy opisujemy kolejne etapy jednej czynności. Jeżeli na różnych gałęziach liczba dalszych możliwości jest inna, trzeba policzyć wyniki dla każdej gałęzi, a potem je dodać.

Najczęstsze błędy

• Dodawanie liczby możliwości z kolejnych etapów zamiast ich mnożenia.
• Nieuwzględnianie zakazu powtórzeń.
• Zakładanie, że na każdym etapie jest tyle samo możliwości.
• Liczenie zera jako pierwszej cyfry liczby wielocyfrowej, gdy nie jest to dozwolone.
• Pomijanie jednego etapu wyboru.

Kontrola wyniku

• Narysuj małe drzewko dla prostszego przykładu.
• Sprawdź, czy każdy wynik zawiera po jednym wyborze z każdego etapu.
• Przy zakazie powtórzeń upewnij się, że liczba możliwości maleje.
• Porównaj wynik z ręcznym wypisaniem kilku pierwszych kombinacji.
• Zwróć uwagę na słowa: i, następnie, kolejno, z każdego rodzaju.

Najczęstsze pytania