Reguła dodawania pozwala policzyć wybór jednej możliwości z kilku rozłącznych grup. Dodajemy liczby opcji, jeśli żaden wynik nie należy jednocześnie do dwóch liczonych grup.
Pojęcia, od których zaczynamy
Jeden wynik to konkretny wybór, np. jeden bilet na określony kurs. Jeśli wybierasz autobus albo pociąg, wybierasz jedną opcję. Nie realizujesz obu etapów podróży. Rozłączne grupy nie mają wspólnych elementów: żaden kurs nie jest jednocześnie kursem autobusu i pociągu.
Symbol \(|A|\) oznacza liczbę elementów zbioru \(A\). Zapis \(A\cup B\) to wszystkie elementy należące do \(A\) lub \(B\), a \(A\cap B\) to część wspólna. Zbiór pusty oznaczamy \(\varnothing\). Te symbole skracają opis liczenia; nie zastępują sprawdzenia, czy grupy są rozłączne.
Zasady i wzory
Regułę dodawania stosujemy, gdy wynik można otrzymać na jeden z kilku rozłącznych sposobów. Liczby możliwości w alternatywnych przypadkach dodajemy.
- Słowo „lub” zwykle sugeruje dodawanie.
- Przypadki muszą być rozłączne albo trzeba odjąć część wspólną.
- Najpierw rozpisz wszystkie alternatywy.
Jeśli przypadki się nakładają, używamy zasady włączeń i wyłączeń.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku są cztery różne kursy autobusu i trzy różne kursy pociągu. Każdy kurs ma osobne oznaczenie. Wybór jednego z nich daje \(4+3=7\) możliwości. Jeśli natomiast trzeba odbyć podróż autobusem, a potem pociągiem, wynikiem byłaby para kursów i należałoby zastosować mnożenie.
Przykład krok po kroku
Do miasta można dojechać jednym z 4 autobusów albo jednym z 3 pociągów. Ile jest sposobów podróży?
Co oznacza rozłączność? Jeden konkretny wybór nie należy do obu przypadków naraz. Wybieramy jeden kurs autobusu albo jeden kurs pociągu, nie podróż z przesiadką. Dlatego dodajemy liczby kursów. Podróż wymagająca autobusu, a następnie pociągu byłaby zadaniem o kolejnych etapach.
- Rozdziel alternatywy.Autobus i pociąg tworzą rozłączne przypadki.
- Policz możliwości w każdym przypadku.\(4\quad\text{i}\quad3\)
- Dodaj.\(4+3=7\)
Typowy błąd
Dodawanie nie działa bez korekty, gdy ten sam wynik należy do obu zbiorów.
Dodatkowy przykład i kontrola
W klasie \(12\) osób chodzi na angielski, \(8\) na niemiecki, a \(3\) na oba zajęcia. Co najmniej jeden z tych języków poznaje \(12+8-3=17\) osób. Trzy osoby zostały uwzględnione dwa razy, więc odejmujemy je raz. Nie odejmujemy ich całkowicie z wyniku.
Słowo „lub” w matematyce zwykle dopuszcza spełnienie obu warunków. Dlatego nie wystarcza zauważyć tego słowa i dodać dwóch liczb. Dla trzech lub większej liczby rozłącznych grup sumujemy wszystkie ich liczebności. Sprawdź także kompletność: żadna dopuszczalna opcja nie może zostać poza podziałem.