Reguła dodawania

Wyobraź sobie, że wracasz do domu i możesz pojechać jednym z 3 autobusów albo jednym z 2 pociągów. Nie wybierasz autobusu i pociągu jednocześnie — wybierasz jedną z rozłącznych dróg. Łącznie masz więc 3+2=5 możliwości.

Konkret: wybór jednej drogi

• Wybierasz deser: 4 rodzaje ciasta albo 3 rodzaje lodów.
• Wybierasz środek transportu: autobus albo pociąg.
• Wybierasz jedno zadanie z grupy A albo jedno zadanie z grupy B.
• W każdym przypadku realizujesz dokładnie jedną z rozłącznych opcji.

Reprezentacja: pudełka możliwości

Możliwości można wyobrazić sobie jako osobne pudełka. Jeżeli pudełko A zawiera m możliwości, a pudełko B zawiera n możliwości i żaden element nie występuje w obu pudełkach, to po połączeniu mamy m+n możliwości.

• Pudełko A: m elementów.
• Pudełko B: n elementów.
• Pudełka są rozłączne.
• Razem: m+n elementów.

Abstrakcja: reguła dodawania

Jeżeli zdarzenie można zrealizować na m sposobów albo na n innych, rozłącznych sposobów, to łączna liczba realizacji wynosi m+n.

• Dla dwóch rozłącznych zbiorów A i B: |A∪B|=|A|+|B|.
• Dla kilku rozłącznych grup: N=n₁+n₂+...+n_k.
• Jeżeli grupy nie są rozłączne, wspólne elementy zostałyby policzone podwójnie.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim A-R-D: Albo, Rozłączne, Dodaj. W pałacu pamięci widzisz dwa tunele: czerwony i niebieski. Możesz wejść tylko do jednego, a na końcu każdego stoją możliwości w kolejce. Gigantyczny znak plus łapie obie kolejki i skleja je w jedną. Słowo „albo” uruchamia dodawanie tylko wtedy, gdy drogi się nie przecinają.

Przykład krok po kroku: transport

Do miasta można dojechać 5 liniami autobusowymi albo 3 liniami kolejowymi. Ile jest możliwości?

• Krok 1: wybór dotyczy autobusu albo pociągu.
• Krok 2: grupy są rozłączne.
• Krok 3: 5+3=8.
• Wynik: istnieje 8 możliwości dojazdu.

Przykład krok po kroku: liczby

Ile jest dodatnich liczb całkowitych mniejszych od 20, które są parzyste albo są nieparzystymi wielokrotnościami 5?

• Krok 1: parzyste liczby to 2,4,6,8,10,12,14,16,18 — 9 liczb.
• Krok 2: nieparzyste wielokrotności 5 to 5 i 15 — 2 liczby.
• Krok 3: grupy są rozłączne.
• Krok 4: 9+2=11.
• Wynik: jest 11 takich liczb.

Przykład krok po kroku: wybór książki

Na półce stoi 6 powieści i 4 reportaże. Wybieramy jedną książkę.

• Krok 1: można wybrać powieść albo reportaż.
• Krok 2: 6+4=10.
• Wynik: jedną książkę można wybrać na 10 sposobów.

Kiedy nie wolno tylko dodawać?

Jeżeli te same możliwości należą do obu grup, zwykłe dodawanie policzy je dwa razy. Wtedy trzeba odjąć część wspólną: |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.

Najczęstsze błędy

• Dodawanie możliwości, które mogą wystąpić jednocześnie i powinny być mnożone.
• Brak sprawdzenia, czy grupy są rozłączne.
• Podwójne policzenie elementów należących do obu grup.
• Mylenie słowa „albo” ze słowem „i”.
• Pomijanie jednej z kategorii możliwości.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy wybierasz jedną kategorię, a nie po jednym elemencie z każdej.
• Wypisz mały przykład i policz możliwości ręcznie.
• Upewnij się, że żadna możliwość nie została policzona dwa razy.
• Wynik powinien być co najmniej tak duży jak liczebność największej grupy.
• Zwróć uwagę na słowa: albo, jeden z, spośród rozłącznych grup.

Najczęstsze pytania