Monotoniczność funkcji

Wyobraź sobie, że jedziesz rowerem po trasie narysowanej jako wykres funkcji. Zawsze patrzysz od lewej do prawej. Jeśli droga prowadzi w górę, funkcja rośnie. Jeśli opada, funkcja maleje. Jeśli biegnie poziomo, funkcja jest stała.

Co oznacza monotoniczność?

Monotoniczność opisuje sposób zmiany wartości funkcji wraz ze wzrostem argumentu x.

• Funkcja rosnąca: większym argumentom odpowiadają większe wartości.
• Funkcja malejąca: większym argumentom odpowiadają mniejsze wartości.
• Funkcja stała: dla różnych argumentów przyjmuje tę samą wartość.

Jak rozpoznać monotoniczność na wykresie?

Przesuwaj wzrok po wykresie od lewej do prawej.

• Wykres idzie w górę — funkcja rośnie.
• Wykres idzie w dół — funkcja maleje.
• Wykres jest poziomy — funkcja jest stała.

Monotoniczność na przedziale

Funkcja może zachowywać się różnie w różnych częściach dziedziny. Dlatego monotoniczność zawsze podajemy wraz z przedziałem.

Na przykład funkcja może rosnąć na przedziale (-∞,2), a maleć na przedziale (2,∞).

Definicja funkcji rosnącej

Funkcja f jest rosnąca na danym przedziale, gdy dla dowolnych x₁<x₂ z tego przedziału zachodzi f(x₁)<f(x₂).

Definicja funkcji malejącej

Funkcja f jest malejąca na danym przedziale, gdy dla dowolnych x₁<x₂ zachodzi f(x₁)>f(x₂).

Definicja funkcji stałej

Funkcja jest stała, gdy dla dowolnych argumentów z danego przedziału przyjmuje tę samą wartość.

Funkcja liniowa

Dla funkcji f(x)=ax+b o monotoniczności decyduje współczynnik kierunkowy a.

• Gdy a>0, funkcja jest rosnąca.
• Gdy a<0, funkcja jest malejąca.
• Gdy a=0, funkcja jest stała.

Funkcja kwadratowa

Monotoniczność funkcji kwadratowej zależy od położenia wierzchołka i kierunku ramion paraboli.

• Gdy a>0, parabola najpierw maleje, a potem rośnie.
• Gdy a<0, parabola najpierw rośnie, a potem maleje.

Granice przedziałów wyznacza współrzędna x wierzchołka: x_w=-b/(2a).

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim L-P-T: Lewo, Patrz, Trend odczytaj. Najpierw ustaw się po lewej stronie wykresu, potem przesuwaj wzrok w prawo i sprawdzaj trend. Wyobraź sobie wykres jako gigantyczny park wodny w swoim pokoju. Gdy zjeżdżalnia pnie się pod sufit, wartości rosną. Gdy z hukiem nurkuje pod łóżko, wartości maleją. Gdy sunie poziomo przez biurko, funkcja jest stała. Wierzchołek paraboli to wielki obrotowy znak, który zmienia kierunek jazdy.

Przykład krok po kroku

Zbadaj monotoniczność funkcji f(x)=x²-4x+1.

• Krok 1: Rozpoznaj funkcję kwadratową z a=1, więc ramiona paraboli są skierowane w górę.
• Krok 2: Oblicz współrzędną x wierzchołka: x_w=-(-4)/(2·1)=2.
• Krok 3: Parabola skierowana w górę maleje przed wierzchołkiem.
• Krok 4: Funkcja jest malejąca na przedziale (-∞,2].
• Krok 5: Po wierzchołku parabola rośnie.
• Krok 6: Funkcja jest rosnąca na przedziale [2,∞).

Przykład funkcji liniowej

Dla g(x)=-3x+5 współczynnik kierunkowy wynosi -3. Ponieważ jest ujemny, funkcja jest malejąca w całej dziedzinie.

Przykład z wykresu

Jeżeli wykres rośnie od x=-4 do x=1, następnie jest poziomy do x=3, a później maleje do x=7, to:

• funkcja jest rosnąca na [-4,1],
• stała na [1,3],
• malejąca na [3,7].

Najczęstsze błędy

• Odczytywanie wykresu od prawej do lewej.
• Podawanie samych słów rośnie lub maleje bez przedziałów.
• Mylenie rosnącego argumentu x z rosnącą wartością funkcji.
• Uznawanie dodatnich wartości funkcji za funkcję rosnącą.
• Pomijanie punktu, w którym zmienia się kierunek monotoniczności.
• Mylenie współczynnika b ze współczynnikiem kierunkowym a w funkcji liniowej.

Najczęstsze pytania