Monotoniczność opisuje, jak zmieniają się wartości funkcji, gdy argument rośnie. Funkcja rosnąca daje większy wynik dla większego argumentu, malejąca — mniejszy, a stała — taki sam. Zawsze wskazujemy, na jakim przedziale lub zbiorze sprawdzamy tę własność.
Patrz od lewej do prawej
Na osi poziomej większe argumenty leżą bardziej na prawo. Dlatego wykres oglądamy od lewej do prawej. Ruch w górę oznacza wzrost wartości, ruch w dół ich spadek, a poziomy fragment — stałą wartość.
Rosnąca funkcja nie musi być dodatnia. Dla \(f(x)=x-5\) mamy \(f(1)=-4\) i \(f(2)=-3\): oba wyniki są ujemne, ale \(-3\) jest większe od \(-4\). Funkcja rośnie. Położenie względem osi mówi o znaku, a kierunek zmian o monotoniczności.
Dwa sprawdzone punkty mogą ilustrować własność, ale nie dowodzą jej na całym przedziale. W innym miejscu wykres może zawrócić. Potrzebujemy informacji o całym przebiegu lub uzasadnienia obejmującego każdą parę argumentów.
Definicje: porównujemy dowolną parę argumentów
Wybierz \(x_1\lt x_2\) z rozważanego przedziału. Indeksy odróżniają dwa argumenty; nie oznaczają mnożenia. Warunek z tabeli musi zachodzić dla każdej takiej pary.
| Rodzaj funkcji | Warunek dla \(x_1\lt x_2\) | Znaczenie |
|---|---|---|
| Rosnąca | \(f(x_1)\lt f(x_2)\) | Większy argument daje większą wartość |
| Malejąca | \(f(x_1)\gt f(x_2)\) | Większy argument daje mniejszą wartość |
| Stała | \(f(x_1)=f(x_2)\) | Wynik się nie zmienia |
Spotkasz też funkcję niemalejącą, dla której \(f(x_1)\le f(x_2)\), i nierosnącą, dla której \(f(x_1)\ge f(x_2)\). Dopuszczają one równość. Funkcja stała jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca, lecz na przedziale z więcej niż jednym punktem nie jest ściśle rosnąca ani ściśle malejąca.
Przykład z wykresu: jedna funkcja, dwa kierunki
Rozważmy parabolę \(f(x)=-(x-1)^2+4\) na dziedzinie \(\mathbb R\). Najwyższy punkt ma współrzędne \((1,4)\). Na lewo od niego wykres pnie się w górę, a na prawo schodzi w dół.
- Odczytaj argument punktu, w którym zmienia się kierunek wykresu.\(x=1\)
- Idąc od lewej do prawej po lewej gałęzi, obserwuj wzrost wartości.\(f\ \text{rośnie na}\ (-\infty;1]\)
- Kontynuuj ruch po prawej gałęzi i obserwuj spadek wartości.\(f\ \text{maleje na}\ [1;+\infty)\)
- Sprawdź przykładowe wartości po obu stronach wierzchołka.\(f(-1)=0,\quad f(0)=3,\quad f(1)=4,\quad f(2)=3,\quad f(3)=0\)
W przedziałach zapisaliśmy argument \(1\), a nie wysokość \(4\). Argument wierzchołka może należeć do obu przedziałów: na lewym większy argument nadal daje większą wartość, a na prawym większy argument daje mniejszą.
Te przedziały są maksymalne: nie da się ich rozszerzyć bez utraty wskazanej własności. Funkcja rośnie również na krótszym przedziale \([-1;0]\), ale nie jest to cały zakres wzrostu. Jeśli polecenie prosi o przedziały monotoniczności, podawaj możliwie największe.
Uzasadnienie ze wzoru: funkcja liniowa
Dla \(f(x)=ax+b\) porównajmy dowolne \(x_1\lt x_2\). Różnica wartości wynosi \(f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)\). Ponieważ \(x_2-x_1\gt0\), znak różnicy zależy tylko od \(a\). Składnik \(b\) znika po odjęciu.
Gdy \(a\gt0\), różnica wartości jest dodatnia i funkcja rośnie na \(\mathbb R\). Gdy \(a\lt0\), maleje. Gdy \(a=0\), jest stała. Stąd \(3x-2\) jest rosnąca, \(-2x+5\) malejąca, a \(7\) stała. Przesunięcie wykresu w górę lub w dół nie zmienia tych kierunków.
Nie przenoś tej reguły bezpośrednio na współczynnik przy kwadracie. Dodatni współczynnik w \(x^2\) oznacza ramiona w górę, ale funkcja nie rośnie na całej \(\mathbb R\): maleje na \((-\infty;0]\) i rośnie na \([0;+\infty)\).
Porównywanie wartości bez ich obliczania
Jeśli wiadomo, że \(g\) maleje na \([0;6]\), to z \(2\lt5\) wynika \(g(2)\gt g(5)\). Nie potrzebujemy wzoru funkcji. Oba argumenty muszą jednak należeć do przedziału, na którym znamy jej monotoniczność.
Dla paraboli z rysunku nie porównujemy automatycznie \(f(0)\) i \(f(2)\) na podstawie jednego kierunku, bo argumenty leżą po różnych stronach wierzchołka. W rzeczywistości obie wartości wynoszą \(3\). Na całej dziedzinie ta funkcja nie jest ani rosnąca, ani malejąca.
Jeden kontrprzykład wystarcza, aby obalić monotoniczność na podanym przedziale. Na przykład \(x^2\) nie jest rosnąca na \(\mathbb R\), ponieważ \(-2\lt-1\), ale \(4\gt1\). Aby potwierdzić wzrost, kilka zgodnych przykładów nie wystarczy — warunek ma działać zawsze.
Typowy błąd i końcowa kontrola
Sprawdź, czy patrzysz od lewej do prawej, zapisujesz przedział argumentów i uwzględniasz zmianę kierunku. Odróżniaj „rosnąca” od „niemalejąca”. Przy porównywaniu dwóch wartości upewnij się, że oba argumenty leżą w tym samym znanym przedziale monotoniczności.